3544073509

Zmienna losowa ciągła \.Zodcinka [- 3,5] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:

a)    wybraną liczbą,

b)    odległością wybranej liczby od 5,

c)    odległością wybranej liczby od O,

d)    kwadratem wybranej liczby,

e)    całością z wybranej liczby.

W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładuf o ile istnieje).

2. Dwie osoby mają się spotkać między godziną 18 a 19 w pubie. Osoba która przyjdzie pierwsza czeka na drugą, ale nie dłużej niż 15 minut. Zmienna losowa X to czas oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu. Zbadaj czy istnieje gęstość.

3. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

- dla - 2< x< - 1 2

M-

ax² dla O < x < 1

O dla pozostaych x

gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.

4. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

/(*)=

Xe'^lx dla x> O O dla x< O

gdzie pewna l nieznana stała. (Rozkład mający powyższą gęstość to rozkład wykładniczy). Znajdź X wiedząc, że P{® e fi :X(w ) < 2) = 2P{b e A : X(w) > 4). Policz dystrybuantę tej zmiennej.

5. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

/(*)=

2e'^ax dla x> O O dla x< O

gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.

6. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję (o ile istnieją) w podstawowych rozkładach ciągłych:

a)    jednostajnym nad odcinkiem [a,b\

b)    Couchiego

c)    Gaussa

d)    wykładniczego

7.    Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [- 2,2]. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Y = 2X + 3. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej i wariancji.

8.    Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [- 2,2]. Znajdź wartość oczekiwaną rozkładu Y = X² ■ Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej.

9.    Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [0,2]. Znajdź rozkład zmiennej Y = 2X t 3.

11