DSCF6542

40

Rozpatrzmy teraz przypadek dwu zmiennych, który będzie można uogólnić na ich większą liczbę: y = y(x_l, x₂). Analogicznie do (4.20) otrzymujemy przybliżone wyrażenie przypominające różniczkę zupełną Ay%

'm&mm

cbc, dx,

Podniesienie do kwadratu i uśrednienie pozwalające

daje

uwzględnić występowanie różnych znaków w kombinacjach Ax wynik (por. np. [7]):

i Ax,

<Ay²> =

as

Axl

Przy obliczeniach należy uwzględnić <Ax_tAx₂> = <Ax₁><Ax₂> = 0, ponieważ błędy Ax₂ i Ax₂ są niezależne i mają rozkład symetryczny z zerową wartością średnią. Ostatni wynik zapisuje się zwykle w postaci:

Ay = ±

	(ty
H	{^dX2.

Axf, gdzie przez niepewności pomiarowe

w zasadzie rozumiane są s_s. Jeśli wielkość badana zależy od n zmiennych, wówczas niepewność w znajomości średniej oblicza się z zależności będącej uogólnieniem poprzedniego rezultatu:

5. TESTOWANIE HIPOTEZ

Stwierdzenia kwalifikujące wyniki doświadczalne na podstawie ogólniejszych modeli statystycznych, a także wypowiedzi dotyczące oczekiwanych wartości parametrów rozkładów empirycznych, nazywamy hipotezami statystycznymi. Sprawdzenie zgodności rezultatu doświadczalnego z postulowanym obrazem nazywa się testowaniem hipotezy. Niech na przykład istnieją podstawy do przypuszczenia, że rzeczywista wartość pewnego parametru 0, ocenianego na podstawie wyników pomiarów, wynosi 0_o. Sprawdzamy wówczas hipotezę prostą, z jednoznacznie określonym parametrem, nazywaną hipotezą zerową H₀: 0 = @₀ w stosunku do innych możliwych hipotez 0>tB^e H₀”), tworzących złożoną hipotezę alternatywną H_v Ponieważ testowanie odbywa się na podstawie skończonej próbki pomiarów, uzyskana odpowiedź nie jest jednoznaczna, lecz ma charakter probabilistyczny. Aby ustalić na ile prawdopodobny jest otrzymany rezultat w świetle hipotezy zerowej, tworzymy pewną funkcję badanej zmiennej losowej, nazywaną statystyką, której rozkład w wypadku prawdziwości H₀ jest znany. Pozwala to obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania wartości statystyki równej lub większej od wartości eksperymentalnej. Prawdopodobieństwo to nazywa się poziomem istotności. Będziemy skłonni odrzucać hipotezę zerową, gdy otrzymany wynik okaże się odległy od średnio oczekiwanego w świetle tej hipotezy. Poziom istotności charakteryzuje stopień rozbieżności pomiędzy przewidywaniami modelu i wynikiem eksperymentalnym. Dla ustalenia uwagi wybierzmy typową wartość poziomu istotności, a = 0,05. Oznacza to, że odrzucając każdą hipotezę, dla której stopień istotności będzie mniejszy od przyjętego, ryzykujemy z prawdopodobieństwem 0,05 odrzucenie hipotezy prawdziwej. Taki błąd przyjęto nazywać błędem I rodzaju. Gdy obniżamy poziom istotności, np. do 0,025, wówczas maleje wprawdzie prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy prawdziwej, zarazem wzrasta ryzyko przyjęcia hipotezy fałszywej. Prawdopodobieństwo uznania za prawdziwą hipotezy w istocie fałszywej nazywa się błędem II rodzaju.

Oznaczmy funkcję rozkładu zmiennej losowej X o gęstości /(x) przez F(x). Dla argumentu x = x„ funkcja F(x) ma wartość:

^xa

(5.1)

F(xJ = J f(x)dx = Prob(x < x„) = 1 — a

— CO