5378219165

10

WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy

P({a>: X < x} fi {w : Y < y}) = P({&>: X < x}) P({o>: Y < y}), czyli gdy dystrybuanta łączna jest iloczynem dystrybuant brzegowych:

F[x,y) = Fx (x) Fy (y).	(1.2.6)
Rozkład dwuwymiarowy jest dyskretny, gdy obie zmienne losowe X i oznaczenia	i Y są dyskretne. Przyjmiemy
P„ = P (X = !„? = »,). p,. -P(X-x,), p.i - P(v - fi) .
Prawdopodobieństwa p,,- i p.;- obliczamy ze wzorów:
p,. = P(X =Xi) = Pip	(1.2.7)
P,'= P (V = Pj) -£p«■	(1.2.8)

Przykład 1.2.4. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech X będzie liczbą oczek na pierwszej kostce, Z na drugiej, a Y większym złych wyników, czyli Y = max{X,Z} Rozkład dwuwymiarowy, czyli prawdopodobieństwa pij, można przedstawić w postaci macierzy

1/36	1/36	1/36	1/36	1/36	1/36
0	2/36	1/36	1/36	1/36	1/36
0	0	3/36	1/36	1/36	1/36
0	0	0	4/36	1/36	1/36
0	0	0	0	5/36	1/36
0	0	0	0	0	6/36

Sposób otrzymania tej macierzy objaśnimy na przykładzie. Wynik (2,4) otrzymamy wtedy, gdy na pierwszej kostce wypadną dwa oczka, a na drugiej cztery. Prawdopodobieństwo tego wynosi (l/6)(l/6) = 1/36. Wynik (4,2) jest niemożliwy, a wynik (2,2) otrzymamy wtedy, gdy na pierwszej kostce będą dwa oczka, a na drugiej jedno lub dwa oczka. Prawdopodobieństwo tego wynosi (l/6)(2/6) = 2/36. Korzystając ze wzoru (1.2.7), otrzymujemy p,-. = 1/6, (co jest oczywiste, bo X jest liczbą oczek na pierwszej kostce), a ze wzoru (1.2.8) otrzymujemy p./ = (2j - l)/36. Widać, że relacja (1.2.6) nie jest spełniona, więc zmienne losowe X i Y nie są niezależne.

Rozkład dwuwymiarowy typy ciągłego posiada gęstość łączną (analogicznie do wzoru (1.2.4)):

/(i.r)

tfFfr.y)

dxdy

(1.2.9)

Gęstości fx (x) i fy (y) zmiennych losowych są gęstościami brzegowymi. Zmienne losowe typu ciągłego są niezależne, gdy

f[x,y) = fx[x)fy[y).

(1.2.10)