8097134320
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4
• Istnieją skończenie całkowalne zmienne losowe Y\, Y2 takie, że
£K|J;]<x(<B[r2|j;], t>o.
oraz niech S i T będą czasami zatrzymania i S < T. Wtedy zmienne losowe X$ i Xt są skończenie całkowalne oraz zachodzi równość
Xs = E[Xt\Xs\.
□
Podobne twierdzenie można otrzymać zastępując [0, 00) przedziałem [a, 6).
Uwaga. Z lematu 1.15 wynika, że tezę GST możemy zapisać w postaci np. dla martyngału: Dla dowolnych czasów zatrzymania S i T zmienne losowe X$ i Xt są skończenie całkowalne oraz
E(Xt I Es) = E(E(XT I Et) \ Es) = E(XT \ Etas) = XTas-
Wniosek 4.16 Niech X = {-Xt}t>o będzie cad submartyngałem i T\, T2 będą czasami zatrzymania oraz Ti < T2. Każdy z poniższych warunków:
(i) Istnieje to > 0 takie, że T2 < to;
(ii) Rodzina {Xf }t>o jest jednostajnie całkowalna implikuje skończoną całkowalność Xtx i Xt2 oraz nierówność
Xj'i < E[Xj'2 I ].
Dowód. Załóżmy, że zachodzi (i). Wtedy dla przedziału [0, to) dostajemy
Xs<E(Xt0\Et), se[0,to).
Stąd z i twierdzenia 4.15 dostajemy tezę. Załóżmy, że (ii) zachodzi. Wtedy z twierdzenia 4.13 (b) mamy
Xt < E(Xoo | Et), t > 0.
Stosując teraz twierdzenie 4.15 dostajemy tezę.
□
Wniosek 4.17 Niech X będzie cad submartyngałem, aT czasem zatrzymania. Proces XT jest submartngałem względem filtracji {Et/\T}t>0-
Dowód. Dla każdego s < t mamy T A s < T At < t. Zatem założenie (i) wniosku 4.16 jest spełnione dla czasów zatrzymania T A s i T A t.
□
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
48 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 44 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzeni57 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Rzeczywiście, niech s < t wtedy E[Yt-YsFs) =58 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dla a G IR mamy {XTi < a} D {Ti = k} = {X* < a}59 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo]. 1.60 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Stosując teraz do prawej strony (4.4) twierdzenie61 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Ponieważ X jest cad, więc { inf Xt < -x = { inf Xt62 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.10 Jeśli proces X jest cad martyngałem (lub63 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód. Dowód (a) wynika z odpowiedniego twierdzenia dl64 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód, (z) =+ (ii) Niech s,t € I,s < t, A € Es. Pon66 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.18 Niech X będzie cad submartyngałem, aT cza49 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 (i) Dla 0 <s<t mamy Va(X) <67 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.3 Twierdzenia o rozkładzie Definicja 4.22 Mówimy, że50 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 gdzie <HX) = X + V(X) 2*{X) = V(X) - X 2 Z (4.1) prMarek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 51 orazUt = [ X+d<j)(A)a + f X~dip(A52 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Niech więc X = /[si00Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 53 Proces I{s< } jest cag i adaptowany, A jest prognoz54 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.2 Martyngały, submartyngały i supermartyngały z czas55 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 5. Niech P i Q będą miarami probabilistycznymi na (17,więcej podobnych podstron