8097134320

65

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

• Istnieją skończenie całkowalne zmienne losowe Y\, Y2 takie, że

£K|J;]<x₍<B[r₂|j;], t>o.

oraz niech S i T będą czasami zatrzymania i S < T. Wtedy zmienne losowe X$ i Xt są skończenie całkowalne oraz zachodzi równość

X_s = E[X_t\X_s\.

□

Podobne twierdzenie można otrzymać zastępując [0, 00) przedziałem [a, 6).

Uwaga. Z lematu 1.15 wynika, że tezę GST możemy zapisać w postaci np. dla martyngału: Dla dowolnych czasów zatrzymania S i T zmienne losowe X$ i Xt są skończenie całkowalne oraz

E(X_t I Es) = E(E(X_T I Et) \ Es) = E(X_T \ Etas) = X_Tas-

Wniosek 4.16 Niech X = {-Xt}t>o będzie cad submartyngałem i T\, T2 będą czasami zatrzymania oraz Ti < T2. Każdy z poniższych warunków:

(i)    Istnieje to > 0 takie, że T2 < to;

(ii)    Rodzina {Xf }_t>o jest jednostajnie całkowalna implikuje skończoną całkowalność Xt_x i Xt₂ oraz nierówność

Xj'i < E[Xj'₂ I ].

Dowód. Załóżmy, że zachodzi (i). Wtedy dla przedziału [0, to) dostajemy

X_s<E(X_t0\E_t), se[0,t_o).

Stąd z i twierdzenia 4.15 dostajemy tezę. Załóżmy, że (ii) zachodzi. Wtedy z twierdzenia 4.13 (b) mamy

X_t < E(Xoo | E_t), t > 0.

Stosując teraz twierdzenie 4.15 dostajemy tezę.

□

Wniosek 4.17 Niech X będzie cad submartyngałem, aT czasem zatrzymania. Proces X^T jest submartngałem względem filtracji {Et/\T}t>0-

Dowód. Dla każdego s < t mamy T A s < T At < t. Zatem założenie (i) wniosku 4.16 jest spełnione dla czasów zatrzymania T A s i T A t.

□