8097134316

61

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Ponieważ X jest cad, więc

{ inf X_t < -x\ = { inf X_t < l teK    J l teł    J

co kończy dowód l(ii). Aby udowodnić część 2 twierdzenia zauważmy, że — Y jest cad submartyngałem. Stosując teraz do niego wzór 1 (ii) dostajemy tezę. Pozostała nam do udowodnienia część 3 twierdzenia. Niech więc X będzie cad martyngałem lub nieujemnym cad submartyngałem. Wtedy {|A_t|}t>o jest submartyngałem. Stosując do niego wzór z części l(i) otrzymujemy

(4.6)

\P{Y > A} <

gdzie Y = sup_te/ |Xj|. Ustalmy L > 0. Mamy

E(YAL)^F = [ pt^p-¹P{YAL>t}dt= ( pt”-¹P{YAL>t}dt= [ pt^p-¹P{Y>t}a Jo    Jo    Jo

Stosując do powyższej równości nierówność (4.6), całkując po t i stosując nierówność Hól-dera dostajemy

E(YALY< f pt*-¹- [ \X_b\dPdt= f |X₆| [ pt^p~² dt dP —

Jo    t J{Y>t}    Jn Jo

-Xr [ \X_b\(Y AL)"-¹ dP < -£-( f \X_b\^pdPy( [ (Y AL^-^dp)’, p-lJn    P-l\Jn    J \J_n    '

gdzie q =    . Po uproszczeniu otrzymujemy

jjY ALYdPK^f^d^^Jjy A^L)FdP)\

Stąd

EHYALY}<(^_rJ)^PE\X_l,Y.

Przechodząc z L —» oo dostajemy

□

Definicja 4.9 Rodzinę zmiennych losowych {Xt}teT nazywamy jednostajnie całkowalną jeśli

lim sup / \Xt\dP = 0

A->+oo _teT 7{|A:t|>A}