8097134314

59

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo].

1.    Jeśli X jest cad submartyngałem na I to dla każdego A > 0 zachodzą nierówności:

(i) P{sup_((E/X_t > A} < i£[-?i,.W_1Łrx,>A}] <

(«) P{m£_KIX, < —A} <    +

2.    Jeśli Y jest cad supermartyngałem na I, to dla A > 0 mamy nierówność

p{ su_Pt€/y, > a} < i(E[yj - B[n/_{8Up_t6/r.<A}]).

3.    Jeśli proces X jest cad martyngalem (lub dodatnim cad submartyngałem) na I oraz E[ \X_t\^p] < oo, t > 0 dla pewnego 1 < p < oo to

E[su_PlŁf|x_t|p] < (^)^Psup.E[|A:,|»] =

Dowód. l(i). Ustalmy A > 0. Niech F = {tj,... ,t_n} C I = [a, 6]. Określmy

_ [ inf{t € F : Xt > A}, gdy istnieje t G F takie, że X_t > A,

(    b    gdy nie istnieje t G F takie, że Xt > A

oraz T-i = b. Wtedy T\ < TStąd i z (4.3) mamy

E(X_b) = E{Xt₂) > E(X_Tl) = E(X_TlI_{suPt€Fx_t>X})+

E(X_TlI{_supteFx_t<\}) = E(X_TlI{_suptęFx_t>\}) + E(X_bI{_{suPt(EF Xt}<\})-

Stąd

[    X_bdP > E(X_TlI{_{sap Xt}>x}) ^ ^SUP ^xt > a|.

•/{sup_t6FX_t>A}    ^e    1 t€F    ^J

Zatem

p{supAT, > A} < i£[JV_{raPrefJ&>A}] < ijS[J»C+].

Niech teraz {F_n}_n>i będzie ciągiem skończonych zbiorów F_n C I, F_n C F_n+1, n > 1 takich, że U^Li F_n = K = Q(~\I U {6}. Zachodzi wzór

I J { sup X_t > a} = { supXt > a}.

„Zj ^L teF_n    ^J L t£K    ^J

Mając na uwadze powyższy wzór dostajemy

(4.4) P{ supX, > A} = Um P{ sup X, > xj < Hm ^[W_{sup_(eF„x,>A}] ■