8097134326

52

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Niech więc X = /[s_i00|.

Jo

f ^s,<x>[[n[[(M] (^si u)dA_s(u)

Jo

./O

- ^s-M)

I{s<t}(u)A_t(u) - I{s<t}As-(w),

gdzie

(X_), = X_t_ = lim X_s

s—H~

(*-)o = 0

(jest on oczywiście procesem cag). Obie funkcje

hs<t}^At oraz /{_S<_f}A₅-

są J-j-mierzalne, Ag- — (-A-)5 jest J^-mierzalny tak więc rozważana całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest adaptowanym procesem. Ponadto jest ona cadlag. Dowód drugiej części jest podobny do dowodu pierwszej. Zauważmy najpierw, że jeśli A jest prognozowalny to V(A) jest prognozowalny, bo

V_t{A) = V_t-{A) + \A_t - A_t-\, t> 0

i procesy V-(A) i A_ są cag i adaptowane, a więc prognozowalne. Z tego, że V(A) jest prognozowalny wynika, że 0(^4) i ip(A) są też prognozowalne. Stąd jeśli zastąpimy A przez <p(A) i ip(A) to wystarczy wykazać nasz lemat dla elementów z V⁺. Określmy

H := jx : J X_sdA_s jest prognozowalny|.

Zauważmy, że W spełnia założenia twierdzenia o klasach monotonicznych. Jako klasę multiplikatywną bierzemy procesy X postaci X = /js,oo[[ lub A = /{o}xFi gdzie Fe Jo-Jeśli X = /{o}xF wtedy X_sdA_s = 0. Jeśli X = /js_i00[[ t° mamy

[ ^]]s,oo[(s^)^s(w) = / ^]]s,oo[[n]|0,t]|(^s’ u)dA_s(u)

Jo    Jo

=    [ I{s<t}(u)Ą_S'q(s,u)dA_s(uj)

Jo