8097134326

8097134326



52


Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Niech więc X = /[si00|.

Jo


f ^s,<x>[[n[[(M] (si u)dAs(u)

Jo

./O

- ^s-M)

I{s<t}(u)At(u) - I{s<t}As-(w),

gdzie


(X_), = Xt_ = lim Xs

s—H~


(*-)o = 0


(jest on oczywiście procesem cag). Obie funkcje

hs<t}At oraz /{S<f}A5-

są J-j-mierzalne, Ag- — (-A-)5 jest J^-mierzalny tak więc rozważana całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest adaptowanym procesem. Ponadto jest ona cadlag. Dowód drugiej części jest podobny do dowodu pierwszej. Zauważmy najpierw, że jeśli A jest prognozowalny to V(A) jest prognozowalny, bo

Vt{A) = Vt-{A) + \At - At-\, t> 0

i procesy V-(A) i A_cag i adaptowane, a więc prognozowalne. Z tego, że V(A) jest prognozowalny wynika, że 0(^4) i ip(A) są też prognozowalne. Stąd jeśli zastąpimy A przez <p(A) i ip(A) to wystarczy wykazać nasz lemat dla elementów z V+. Określmy

H := jx : J XsdAs jest prognozowalny|.

Zauważmy, że W spełnia założenia twierdzenia o klasach monotonicznych. Jako klasę multiplikatywną bierzemy procesy X postaci X = /js,oo[[ lub A = /{o}xFi gdzie Fe Jo-Jeśli X = /{o}xF wtedy XsdAs = 0. Jeśli X = /jsi00[[ t° mamy

[ ^]]s,oo[(s^)^s(w) = / ^]]s,oo[[n]|0,t]|(su)dAs(u)

Jo    Jo

=    [ I{s<t}(u)ĄS'q(s,u)dAs(uj)

Jo



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
55 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 5. Niech P i Q będą miarami probabilistycznymi na (17,
56 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Niech T będzie określone wzorem T - inf{t : gt = 0}. J
56 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Niech T będzie określone wzorem T - inf{t : gt = 0}. J
57 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Rzeczywiście, niech s < t wtedy E[Yt-YsFs) =
59 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo]. 1.
61 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Ponieważ X jest cad, więc { inf Xt < -x = { inf Xt
64 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód, (z) =+ (ii) Niech s,t € I,s < t, A € Es. Pon
66 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.18 Niech X będzie cad submartyngałem, aT cza
57 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Rzeczywiście, niech s < t wtedy E[Yt-YsFs) =
48 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 44 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzeni
58 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dla a G IR mamy {XTi < a} D {Ti = k} = {X* < a}
60 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Stosując teraz do prawej strony (4.4) twierdzenie
62 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.10 Jeśli proces X jest cad martyngałem (lub

więcej podobnych podstron