8097134330

56

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Niech T będzie określone wzorem

T - inf{t : g_t = 0}.

Jeśli T < +oo wtedy g_s ^ 0 dla s < T i z ciągłości gt mamy gr = 0. Tak więc h_StT = 0 dla s < T i hjr = 0. Ale

h,TT — E[exp iu(Xt — ATt’)] = 1,

co daje sprzeczność. Zatem T — -t-oo i gt nigdzie się nie zeruje. Wykażemy teraz że jest martyngałem. Mamy dla s < t

g_U _ exp(iuX_t) _ exp(iuX_s) exp[iu(A’t — AT_S)] ^ł Eexp(iuXt) Eexp(iuX_s) Eexp[iu(Xt — X_s)]

„ _ exp[iu(X_t - X,)| ^s £’exp[iu(Xt — X_s)]

Stąd

_E,₂U I _T, ₌ ZU Eex_V[iu(X_t- A',)] E[Z,\T,\ Z,    ^z>■

7. Proces X o niezależnych przyrostach nazywamy procesem Poissona jeśli Xq = 0 oraz istnieje rosnąca ciągła funkcja F taka, że dla dowolnych s < t zmienna losowa X_t—X_s ma rozkład Poissona z parametrem F(t)—F(s). Podamy teraz kilka własności procesu Poissona.

•    Istnieje modyfikacja procesu Poissona X, której trajektorie sa cadlag i o wartościach w IN.

•    P-p.w trajektorie sa niemałejące i punkty wzrostu są skokami o całkowitych wielkościach.

•    Jeśli limt->oo E(t) — +oo to trajektorie nie są ciągłe

•    Proces Poissona nie ma stałych punktów nieciągłości.

•    Gdy F(t) — Xt, A > 0 (standardowy proces Poissona) to prawdopodobieństwo, że skok w danym skończonym przedziale jest większy od jedynki jest równe zero.

Z procesem Poissona związane są dwa martyngały.

Y,=X_t- F(t)

oraz

Z, = (X_t - F(t))² - F(t).