8097134312

57

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Rzeczywiście, niech s < t wtedy

E[Y_t-Y_s\F_s) = E[X_t-F(t)-(X₃-F(s))\F_s)

= E[X_t-X_s\F_a]-F(t)-F(s)

= E[X_t - X_s\ - F(t) + F(s) = 0.

Aby sprawdzić, żę Z_t jest martyngałem zauważmy

E[(X_t - F(t)f - F(t) - (X. - F(s)f + F(s) \ F.\ =

E{(X_t - F(t))² - (X, - F(s))² | F,1 - F(t) + F(s) =

- F(t)) - (X, - F(_S)))² | ?.] - F(t) + F(») = 0

8. Proces B nazywamy ruchem Browna (względem filtracji {^i}) jeśli.

•    Bq — 0

•    B jest procesem o niezależnych przyrostem i stcjonarnym to jest rozkład B_t — B_s zależy tylko od różnicy t — s (t > s.)

•    Przyrosty Bt — B_s mają rozkład normalny N(0,a²(t — s)) (t > s).

•    Trajektorie są ciągłe.

Gdy a = 1 proces B nazywamy standardowym ruchem Browna. Jak łatwo zauważyć ruch Browna jest martyngałem

E[B_t - B_s | F_s] = E[B_t - B_a] = 0

dla s <t. Związny z nim jest jescze jeden martyngał

Y, = B? -    <r²t,    t 6    R+.

Rzeczywiście dla s < t mamy

E\Y_t-Y,\F,\ = E[Bl - Bl - ff²(t - s) |Ji]

= E[(B_t-B,f-a²(t-s)\F,)

— cr²(t — s) - a²{t — s) — 0.

Fakt. Niech (X_n,J-)ri)_n>o będzie submartyngalem (dyskretnym) oraz Ti : Q —¥ W U {0} dla i = 1,2,... ,m będą czasami czasami zatrzymania takimi, że T\ < T2, < ... < T_m < N € IN. Wtedy    )iLi jest submartyngalem.

Dowód. Mamy

N »    N

E\X_Ti| = T, / \X_k\dP < Y E\X_k\ < 00.

*=0^-*}    k=0