8097134318

63

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Dowód. Dowód (a) wynika z odpowiedniego twierdzenia dla martyngałów dyskretnych. Dla dowodu (b) zauważmy, że z jednostajnej całkowalności {X*} wynika, że

sup E[X(~] < +oo. teR+

Z pierwszej części wynika, że Xt —> X_O0 P-p.w. co z kolei pociąga zbieżność X_t⁺ -» P-p.w. a to razem z jednostajną całkowalnością {X*} daje zbieżność

X?-» X+ w L¹.

i—»oo

Dla A € i dla każdego s > 0 mamy

f X_tdP< f X_t+sdP= [ X+_+sdP- f Xi+_sdP.

Ja    Ja    Ja    Ja

Stąd

J X,dP < lim sup Xf₊₃dP-J X_t+adP^ = j X+dP- liminf J X^_+adP.

Stosując lemat Fatou do prawej strony otrzymujemy

/ X_tdP< f X+dP- f X^dP= [ X₀₀ dP.

Ja    Ja    Ja    Ja

Co kończy dowód (b). Dla dowodu (c) trzeba zastosować (b) do X i do —X.

□

Podobne twierdzenie można otrzymać zastępując [0, oo) przedziałem [a, b).

Twierdzenie 4.14 Niech {Xt}tę.i, gdzie I = [a,b), a,b G [0, oo] będzie martyngałem. Następujące warunki są równoważne:

(i)    Istnieje granica lim Xt w sensie zbieżności L¹.

t/*6

(ii)    Istnieje całkowalna (skończenie) zmienna losowa X taka, że

E[X\T_t\ =X_U dla teł.

(iii)    Rodzina {Xt}tei jest jednostajnie całkowalna.

Każdy z tych warunków implikuje zbieżność {Xt}tęi u> L¹ gdy t /* b oraz X_a = E[_}%X_t\T.\

dla każdego s € I. Ponadto, jeśli

sup£[|X₍|^p] < +oo te/

dla pewnego p > 1 to warunki (i) — (iii) zachodzą oraz lim Xt istnieje w sensie zbieżności