8097134318

8097134318



63


Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Dowód. Dowód (a) wynika z odpowiedniego twierdzenia dla martyngałów dyskretnych. Dla dowodu (b) zauważmy, że z jednostajnej całkowalności {X*} wynika, że

sup E[X(~] < +oo. teR+

Z pierwszej części wynika, że Xt —> XO0 P-p.w. co z kolei pociąga zbieżność Xt+P-p.w. a to razem z jednostajną całkowalnością {X*} daje zbieżność

X?X+ w L1.

i—»oo

Dla A € i dla każdego s > 0 mamy

f XtdP< f Xt+sdP= [ X++sdP- f Xi+sdP.

Ja    Ja    Ja    Ja

Stąd

J X,dP < lim sup Xf+3dP-J Xt+adP^ = j X+dP- liminf J X^+adP.

Stosując lemat Fatou do prawej strony otrzymujemy

/ XtdP< f X+dP- f X^dP= [ X00 dP.

Ja    Ja    Ja    Ja

Co kończy dowód (b). Dla dowodu (c) trzeba zastosować (b) do X i do —X.


Podobne twierdzenie można otrzymać zastępując [0, oo) przedziałem [a, b).

Twierdzenie 4.14 Niech {Xt}tę.i, gdzie I = [a,b), a,b G [0, oo] będzie martyngałem. Następujące warunki są równoważne:

(i)    Istnieje granica lim Xt w sensie zbieżności L1.

t/*6

(ii)    Istnieje całkowalna (skończenie) zmienna losowa X taka, że

E[X\Tt\ =XU dla teł.

(iii)    Rodzina {Xt}tei jest jednostajnie całkowalna.

Każdy z tych warunków implikuje zbieżność {Xt}tęi u> L1 gdy t /* b oraz Xa = E[}%Xt\T.\

dla każdego sI. Ponadto, jeśli

sup£[|X(|p] < +oo te/

dla pewnego p > 1 to warunki (i) — (iii) zachodzą oraz lim Xt istnieje w sensie zbieżności



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
63 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód. Dowód (a) wynika z odpowiedniego twierdzenia dl
64 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dowód, (z) =+ (ii) Niech s,t € I,s < t, A € Es. Pon
48 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 44 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzeni
57 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Rzeczywiście, niech s < t wtedy E[Yt-YsFs) =
58 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Dla a G IR mamy {XTi < a} D {Ti = k} = {X* < a}
59 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo]. 1.
60 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Stosując teraz do prawej strony (4.4) twierdzenie
61 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Ponieważ X jest cad, więc { inf Xt < -x = { inf Xt
62 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.10 Jeśli proces X jest cad martyngałem (lub
65 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 • Istnieją skończenie całkowalne zmienne losowe Y, Y2
66 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Wniosek 4.18 Niech X będzie cad submartyngałem, aT cza
49 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 (i)    Dla 0 <s<t mamy Va(X) <
67 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.3 Twierdzenia o rozkładzie Definicja 4.22 Mówimy, że
50 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 gdzie <HX) = X + V(X) 2*{X) = V(X) - X 2 Z (4.1) pr
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 51 orazUt =    [ X+d<j)(A)a + f X~dip(A
52 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Niech więc X = /[si00
Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 53 Proces I{s< } jest cag i adaptowany, A jest prognoz
54 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.2 Martyngały, submartyngały i supermartyngały z czas

więcej podobnych podstron