8097134313

58

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Dla a G IR mamy

{X_Ti < a} D {Ti = k} = {X* < a} n {Ti = k) € T_k,

zatem Xj\ jest mierzalna zmienna losową. Dla zakończenia dowodu trzeba jeszcze udowodnić dla i = 1,2,..., m — 1 nierówność

E(Xr_i+1 | Er,) > X_Ti

lub równoważną

J X_Ti+l dP > J X_TldP dla F € ?_Ti-

Ponieważ F = Ufc=o{-^* = k} fi F, więc wystarczy wykazać

f X_Ti+1dP> I    X_TidP dla k = 0,1,..., N.

JFn{Ti=k}    JFn{Ti=k}

Ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci

[    -^Ti+iAN dP > f    ^Ti+iAk dP dla k = 0,1,..., N — 1.

JFr\{Ti=k}    JFn{Ti=k}

XTi+1As dP <	/ XT A(s+i)dP dla k — 0,1,..., N — 1.
--k}	/Fn{Ti=fc}
f ^XTi+	iA sdP = [ XTi+lAsdP+
JFn{Ti=k}	J Fr\{Ti=k}n{Ti+1<s}

f    X_Ti+lAsdP= f    x_Ti+ldP+

J Fn{Ti=k}n{T_i+i>s}    ^Fn{Ti=fc}n{T_i+i<s+i}

Dla dowodu której wystarczy dla k < s < N — 1 wykazać

Ifo

Mamy

L

X_sdP< f    X_Ti+l dP+

Fn{Ti=fe}n{r_i+i>s}    ^Fn{Ti=fe}n{T_i+i<s+i}

[    X_s+1dP= [    X_Ti+1dP+

VFn{Ti=fe}n{Ti+i>s}    ^Fn{Ti=fc}n{T_i+i<s+i}

[    X_s+i dP = I X_Ti+lA(a+1)dP.

^Fn{Ti=fc}n{T_i+1>s+i}    JFn{Ti=k}

Dowód Faktu został zakończony.

Uwaga. Przy założeniach jak w powyższym Fakcie mamy (4.3)    E(X_Ti) < E(X_Ti+1), i = l,2,...,m- 1.