8097134323

67

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

4.3 Twierdzenia o rozkładzie

Definicja 4.22 Mówimy, że cad proces X należy do klasy D jeśli rodzina {Xt}tga gdzie A jest zbiorem wszystkich skończonych czasów zatrzymania jest jednostajnie całkowalna.

Można udowodnić, że M C V oraz A⁺ C T>. Przy konstrukcji całki stochastycznej ważną rolę odgrywa następujące twierdzenie o rozkładzie

Twierdzenie 4.23 (Doob-Meyer) Niech X będzie cad supermartyngałem należącym do klasy T>. Istnieje jedyny prognozowalny rosnący proces A należący do klasy A⁺ taki, że X+A jest jednostajnie całkowalnym martyngałem tj.

X = M-A, gdzie X £ V, M £ M, A £ A⁺.

Jeśli X jest ciągły to M i A też są ciągłe.

□

Korzystając z tego twierdzenia można udowodnić

Twierdzenie 4.24 (Dellacherie) Niech A £ A. Istnieje jedyny prognozowalny A £ A taki, że A — A £ M.

□

Jeśli B jest standardowym ruchem Browna to jak już nam wiadomo proces {Bf—t}_t€ft+ jest martyngałem. Tak więc B² można przedstawić w postaci sumy prognozowalnego procesu {t} i martyngału {B² — t}. Ale wartość oczekiwana E[B²] = t -ł oo gdy t —>• oo. Tak więc {B²} nie jest jednostajnie całkowalny. Zachodzi więc potrzeba rozszerzenia twierdznie o rozkładzie dla szerszej klasy.

Definicja 4.25 Proces X nazywamy lokalnym martyngałem, jeśli jest cadlag oraz istnieje lokalizacyjny ciąg czasów zatrzymania {T_n} taki, że dla każdego n £ N mamy X^Tn £ Al. Zbiór lokalnych martyngałów będziemy oznaczać przez Mi_oc-

Lemat 4.26 Każdy martyngał jest lokalnym martyngałem.

Dowód. Rozważmy ciąg czasów zatrzymania T_n = n dla n £ IN. Z wniosku 4.18 dla każdego n proces X^Tn jest martyngałem. Udowodnimy, że jest on jednostajnie całkowalny. Mamy (X^Tn)oo = X_n, a stąd

Xjⁿ = X_sAn = E[X_n | E_s] = E[X£ | Es}-

Zatem X^Tn £ A4.

□

Podobnie określamy lokalne submartyngały i lokalne supermartyngały.