8097134315

60

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Stosując teraz do prawej strony (4.4) twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej otrzymujemy ostatecznie

?^UK^X‘ ^{> A}) -    ^

Ponieważ X jest cad, więc

{ supX_t > a} = { supX_t > A>, t€K    ^J L ł€l    ^J

co kończy dowód l(i). Przejdziemy teraz do dowodu l(ii). Ustalmy A > 0. Niech F — {ti,..., t_n} C I = [a, b\. Określmy T\= a oraz

Y _ f inf{t E F : X_t < —A}, gdy istnieje t E F takie, że X_t < —A,

\    b    gdy nie istnieje t E F takie, że Xt < —A.

Mamy T<i > T\, stąd i z (4.3) dostajemy E(Xt₂) > E(Xx₁) = EX_a. Zatem

EX_a < E(X_T2I{\_nf_t&Fx_t<-\}) + E(XT₂I{inf_tę_Fx_t>-\})

Powyższa nierówność jest równoważna

~E{Xt₂I{inf_teFX_t<—A}) < ~EX_a + E(X_T2I{in(_teFX_t>-\}),

z której otrzymujemy

^{Xt <} ~- ~^E(^XT₂I{mf_teF X_t<-\}) ^ ~EX_a + E(X_bI{_mf_teFx_t>-\})-

Niech teraz (F_n}_n>i będzie ciągiem skończonych zbiorów F_n C I, F_n C F_n+i, n > 1 takich, że U^=i F_n = F = Q D J U {6}. Zachodzi wzór

u {&*<-*}={&**<-4

Mając na uwadze powyższy wzór dostajemy

P{ inf X_t < -Al = lim p{ inf X_t < -\\

(4.5)

l teK    J n—>oo L t€F„    J

< „U® \[~EX_a + E(X_bI_lin^_Pn *,>_*,)] ■

Stosując teraz do prawej strony (4.5) twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej otrzymujemy ostatecznie

^p{    < -a} < \ [ - EX_a + iWpnF,.* *«>-*>)]•