8097134321

66

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Wniosek 4.18 Niech X będzie cad submartyngałem, aT czasem zatrzymania. Proces X^T jest submartngałem względem filtracji {^i}t>o-

Dowód. Niech s < t. Z wniosku 4.17 i z równości (lemat 1.15)

E[E[X\E_t]\E_s] = E[X\E_Sat]

zastosowanej dla X := Xtm, T := T At, S := s mamy

E[X_Tm I E_s] = E[E[X_TAt I Ttm] I Es] = E[X_TAt \ E_Tas] > X_TAs

□

Definicja 4.19 Rodzinę wszystkich jednostajnie całkowalnych cadlag martyngałów będziemy oznaczać przez M.

Wniosek 4.20 Niech T będzie czasem zatrzymania. Jeśli X E AA to X^T £ Al.

Dowód. Ponieważ X jest jednostajnie całkowalny to istnieje skończenie całkowalna zmienna losowa X₀₀ taka, że X = {-Xt}o<t<oo jest martyngałem tzn. X_t = E(X_OCl \ Et), t > 0. Stosując teraz ogólne twierdzenie o stopowaniu (twierdzenie 4.15) dla T i dla TAt mamy

E[X_t I Et] = E[E[Xt | Et] \ E_t] = E[X_T \ E_Tm] = X_Tm

Stąd rodzina {XT_At}t>o jest jednostajnie całkowalna.

□

Wniosek 4.21 Niech X będzie adaptowanym cadlag procesem na [0, oo] x fi takim, że

.EU-KtI] < +oo oraz E[Xt] = 0

dla każdego czasu zatrzymania T, to X £ At.

Dowód. Niech t > 0 i A E Et i T = ta- Zachodzi równość

(4.7)    f X_tdP+ f Xoo dP = E[X_t] = 0.

Ja    Ja¹

Dla T = +oo mamy (4.8)

Z (4.7) i z (4.8) mamy

[ X_OQdP+ [ Xoo dP = E[X_t] = 0.

JA    JA'

[ X₀₀ dP — f X_t dP Ja    Ja

dla wszystkich A £ Et, czyli I dowód jest zakończony.

X_t = E[Xoo | Et] ■

□