8097134319

64

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Dowód, (z) =+ (ii) Niech s,t € I,s < t, A € E_s. Ponieważ Xt —^ Xb w L¹ (Xb := limt^b^t w L¹), stąd I_AX_t —> I_AXb w L¹ i

£;[/_AX₆] = lim E[I_AX_t] = E[I_AX_S]

Z/*0

(ii)    =$■ (iii) Wynika z wniosku 4.10.

(iii)    =4- (z) Jeśli {Xt}tęi jest jednostajnie całkowalna to

sup-EflJól] < +oo. t€l

Stąd i z twierdzenia 4.13 wynika zbieżność P-p.w co z jednostajną całkowalnością daje zbieżność w L¹.

Jeśli

sup£’[|X_t|^pl < +oo. teł ^{L J}

to z twierdzenia 4.8 część 3 dostajemy

£[sup|X_t|^p] < (—) sup£[|X*|^p] < +oo. tei    \P~^lJ teł

Stąd {|X(|^p}tg/ jest jednostajnie całkowalna, a zatem martyngał X jest zbieżny w D

□

Twierdzenie 4.15 (GST) (i) Niech X = {J^t}t>o będzie cad supermartyngałem o własności:

•    Istnieje skończenie całkowalna zmienna losowa Y taka, że

X_t>E[Y\T_t],    t> 0.

Jeśli S i T są czasami zatrzymania i S < T, to zmienne losowe Xs i Xt są skończenie całkowalne oraz zachodzi nierówność

X_s>E[X_t\Ts\.

(ii)    Niech X = {Jćt}z>o będzie cad submartyngałem o własności:

•    Istnieje skończenie całkowalna zmienna losowa Y taka, że

X_t <E[Y\X_t],    t> 0.

Jeśli S i T są czasami zatrzymania i S < T, to zmienne losowe Xs i Xt są skończenie całkowalne oraz zachodzi nierówność

X_s<E[X_t\T_s].

(iii)    Niech X — {-Xt}t>o będzie (cadlag) martyngałem z własnością: