8097134317

62

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

Wniosek 4.10 Jeśli proces X jest cad martyngałem (lub dodatnim cad submartyngałem) na I = [a, b) C [0, oo] to rodzina {Xt}tęi jest jednostajnie całkowalna.

Dowód. Zachodzi nierówność

[ \X_t\dP< [ \X_b\dP< ( 7{|a₍|>a}    Ą\x_t\>\}    i

^J{swp_teI\x_t\>x}

\X_b\dP.

Z twierdzenia 4.8 część l(i) mamy

^{suPte/l-^l >    ^    [ l-^&l ] —^ 0,    A —» oo.

Teraz tezę otrzymujemy z twierdzenia o absolutnej ciągłości całki.

□

Twierdzenie 4.11 Każdy cad submartyngał X = {^t}t>o jest cadlag submartyngałem.

□

Twierdzenie 4.12 Submartyngał X = {ATt}i>o ma cad modyfikacją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja F(t) = E[Xt\ jest prawostronnie ciągła.

□

Z tych dwóch twierdzeń wynika następujący wniosek: Każdy martyngał X = {-Xi}t>o posiada cadlag modyfikację, dlatego od tego momentu będziemy zawsze zakładać, że rozważane martyngały są cadlag.

Twierdzenie 4.13 Zachodzą następujące fakty:

(a)    Niech {Xt}t>o będzie cad submartyngałem takim, że

sup£[X+] < +oo. t> o

Wtedy istnieje (skończenie całkowalna) granica lim^^ X_t, P-p.w.

(b)    Jeśli {AT(} jest cad submartyngałem i {X_ż⁺} jest jednostajnie całkowalny to X jest zbieżny P-p.w. do skończenie całkowalnej zmiennej losowej X_OQ oraz jE/[.X₀₀|.7^:i] > X_t.

(c)    Jeśli {Xf}«>0 jest jednostajnie całkowalnym martyngałem wtedy X jest zbieżny P-p.w. do skończenie całkowalnej zmiennej losowej X₀₀ oraz 2£[X₀₀|.Ft] = X_t.