8097134327

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

53

Proces I{s< } jest cag i adaptowany, A jest prognozowalny, więc I[s<-}A(.) jest prognozo-walny. Proces I^s-c-jAs jest adaptowany (z definicji Ts) i cag, tak więc jest prognozowalny.

Rozważmy X € V. Ponieważ X jest cadlag, stąd dla t > 0, n > 1 i dla u> € O zbiór s<t : |AX»(oj)| > ij

{'

zbiór jest skończony. Zatem zbiór {s < t : AX_S ^ 0} jest przeliczalny. Możemy więc rozważać sumy

£W_{m.#_0}'

Zauważmy, że

E I'= sup ( E |AX.|J_{|a_x,i>l}) < Vt(X) < +oo

Stąd możemy określić dla X € V proces X^d wzorem

^xt — ^2 AX_SI{AX_s^o}

nazywany nieciągłą częścią procesu X. Stąd

v,(x^d) = Y,\^AX-\^I( AA_s?źO}

Część ciągłą procesu określamy jako X^c = X — X^d. Zauważmy, że

jest ciągłym procesem oraz

V_t(X) = V_t{X^c) + V_t{X^d).

Rozważmy proces X taki, że X⁺ i X mają skończenie całkowalne trajektorie. Jeśli A = A^c to całka

[ X_s(u})dA_s(u) J o

jest ciągła, jeśli proces A posiada skoki AA_S to całka Lebesgue’a-Stieltjesa też ma skoki postaci

A (/ X_s(u>) dA_s(u>)^ = Xt(u)AAt(u:).

Na koniec tego wykładu określmy klasę A⁺ jako zbiór tych procesów A G V⁺ dla których -^oo jest całkowalny. Oczywiście określamy również A = A⁺ — A⁺. Przez Ai_oc oznaczamy zbiór procesów A dla których istnieje ciąg lokalizacyjny {T_n}_ne/v, że dla każdego n € IN zachodzi A^Tn € A.