8097134328

54

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

4.2 Martyngały, submartyngały i supermartyngały z czasem ciągłym

Definicja 4.7 Niech dana będzie baza zupełna (f2,P,P) z filtracją {Tt}tei, gdzie I = [a, 6] C [0, +oo]. Adaptowany proces X : I X {2 M nazywamy martyngałem jeśli

1.    E\Xt\ < +oo dla każdego t E I;

2.    E[Xt | E_s] — X_s dla wszystkich s < t, s,t E I.

Adaptowany proces X : I x i? —> IR nazywamy submartyngałem jeśli

1.    E\X_t\ < +oo dla każdego t E I;

2.    E[X_t | T_s\ > X_s dla wszystkich s <t, s,t G I.

Adaptowany proces X : I x 17 -» IR nazywamy supermartyngałem jeśli

1.    E\Xt\ < +oo dla każdego t G I;

2.    E[X_t |    < X_s dla wszystkich s <t, s,t G I.

Przykłady:

1.    Niech Y będzie całkowalną (E\Y\ < oo) zmienną losową na (17, E,P), to proces X_t = E[Y | TĄ, t G [0, +oo] jest martyngałem.

2.    Jeśli X jest supermartyngałem to —X jest submartyngałem i odwrotnie.

3.    Niech X będzie submartyngałem. Jeśli / jest niemalejącą wypukłą funkcją taką, że E[\f(Xt)\] < +oo dla każdego t G I wówczas proces Zt = f(X_t) jest submartyngałem. Jeśli X jest martyngałem to własność niemalenia / może zostać opuszczona. Stąd mamy

•    Jeśli X jest submartyngałem, to X V a (a G IR) jest także submartyngałem (w szczególności X⁺ jest wtedy submartyngałem)

•    Jeśli X jest supermartyngałem, to X~ jest submartyngałem.

•    Jeśli X jest martyngałem i E\X\^P < oo dla p > 1 to Y = \X\^P jest submartyngałem.

4.    Każdy martyngał (X_n, ^n)neA^u{o} ^z dyskretnym czasem może być rozszerzony do martyngału z czasem ciągłym. Określmy

Pt = Pn dla < E [n, n+l[, n > 0,

Xt = X_n dla iE[n,n+l[ n > 0.

Tak otrzymany proces {7C(}(>o jest cadlag martyngałem.