8097134329

55

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

5. Niech P i Q będą miarami probabilistycznymi na (17, P), takimi, że Q « P (Q jest absolutnie ciągła względem P). Niech {•7^r}_tGfl+ będzie filtracją względem miary P (o własnościach podanych na pierwszym wykładzie). Przez Pt i Qt oznaczmy obcięcia P i Q do (17, Pt)- Rozważmy pochodną Radona-Nikodyma

Yoo =

dQ

dP'

dQ_t

t e R⁺.

Proces {r_t}t_€[o,oo] jest P-martyngałem, ponieważ dla każdego A € Pt mamy

f EiYao I Pt] dP= ( Y₀₀dP = Q(A) = Qt(A) = f Y_tdP_t= f Y_t dP. Ja    Ja    Ja    Ja

Zatem

Y_t = ElYoc | P_t], dla t e [0, oo].

Jeśli założymy dodatkowo, że P << Q to 1/Y jest Q-martyngałem i dla każdego t > 0 i A G Pt mamy

Stąd dla każdego t > 0

dQ_t dP_t dP_t dQ_t

P — p.w..

6. Proces X nazywamy procesem z niezależnymi przyrostami, jeśli jest adaptowany i przyrosty Xt — X_s dla każdego s i t (s < t) są niezależne od P_s. Od razu zauważmy, że jeśli E\X_t\ < oo, t £ R⁺ i EX_S = EX_t dla s, t € R⁺ to X jest martyngałem, bo dla s < t mamy

E[X_t | P_s] =X_S + E[X_t - X_s | P_s] =X_S + E[X_t - X_s] = X_s

Jeśli X (Xo = 0) jest cadlag procesem o niezależnych przyrostach nie mającym stałych punktów nieciągłości (tj. dla każdego t mamy P{AXt ^ 0} = 0) wtedy dla u G R funkcja g{t) = E exp(iuXt) jest ciągła i nigdzie się nie zeruje. Proces

exp(iuXt) _ts0 E exp(iuXt)

jest martyngałem. W celu udowodnienia tych własności ustalmy u € R i t > 0. Określmy

gt — i?[expmXt], h_sj — E[expiu(Xt —

Z założenia mamy, że AXt = 0, P-p.w. to jest X jest ciągły według prawdopodobieństwa. Stąd gt i h_s t są ciągłe wględem t i s, t odpowiednio. Ponieważ X ma niezależne przyrosty, więc dla s <t mamy

9t = 9sh_s,t■