11
WYKŁAD i. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Kwantylem rzędu p, p e (0,1) rozkładu zmiennej losowej X nazywamy liczbę £p spełniającą nierówności
(1.3.1)
Nierówności (1.3.1) nie wyznaczają kwantyli jednoznacznie. Gdy dystrybuanta F (x) jest ciągła, to kwantyl £p jest rozwiązaniem równania F(x) = p. Rozwiązanie to też nie musi być jednoznaczne.
Mediana oznaczana symbolem Me jest kwantylem rzędu p = 1/2, czyli Me = £1/2. Kwantyle rzędów p = 1/4 i p = 3/4 nazywa się kwartylami rzędu 1 i 3 i oznacza Qi i (>3, czyli Qi = £1/4 i Q$ = £3/4. Mediana jest kwartylem rzędu 2: Qg = £2/4 = Me. Do wskaźników rozrzutu zmiennej losowej zalicza się odchylenie ćwiartkowe Q = (£3/4 - ^m)l2.
Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej X (zwana również średnią teoretyczną) jest określona osobno dla zmiennych skokowych, a osobno dla zmiennych typu ciągłego. Dla zmiennych skokowych jest to wzór
k
a dla zmiennych losowych typu ciągłego - wzór
(1-3-3)
EX = J xf(x)dx.
Gdy chcemy obliczyć wartości oczekiwane potęg zmiennych losowych, to wzory (1.3.2) i (1.3.3) przybierają postać odpowiednio
k
oraz
(1.3.5)
Ważnym parametrem zmiennej losowej X jest wariancja teoretyczna D2X określona wzorem
D2X - E{X - EX)2 - EX2 - (EX)2 (1.3.6)
oraz odchylenie standardowe O określone wzorem
Odchylenie standardowe nazywane jest również dyspersją.
Uwaga. Wariancja D2X jest również często oznaczana przez V(X) lub Var(X).
Przykład 1.3.1. Niech zmienne losowe X i Y będą takie, jak w przykładzie 1.2.1. Ponieważ P (X = —1) = P (Y = —1) = 1/2 oraz P (X = 1) = P (Y = 1) = 1/2, zmienne X i Y mają ten sam rozkład, mimo że są różne: X = -Y. Wobec tego mają te same parametry, wartość oczekiwaną określoną wzorem (1.3.2) i wariancję określoną wzorem (1.3.6), gdzie EX2 obliczamy ze wzoru (1.3.4).
D2X = D2Y = 1.
Medianą Me = £1/2 jest dowolna liczba -1 $ £1/2 $; 1. Można więc przyjąć £1/2 = 0, ale można też przyjąć £1/2 = -1 lub <;i/2 = 1. Widać, że w tym przypadku mediana nie jest pożytecznym parametrem.