5378219168

13

WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Następnie obliczymy

EE¹ - i (1 •¹ +1 ■ 3 + 3* • 5 + 4¹ • 7 + 5" •⁹ + e? • li) - ^,

skąd otrzymujemy wariancję i odchylenie standardowe:

D¹Y = EY² - (EY)¹ = a = Vl)*Y ~ 1.40.

2555

1296

1.97,

Widać, że EY > EX, co jest oczywiste, gdyż zawsze Y ^ X. Wartości Y są też bardziej skupione wokół swojej wartości oczekiwanej, więc D¹Y < D²X. Łatwo otrzymujemy

E{X + E) - EX + EY - i + 151 , “ „ 5.06.

Ponieważ X i Y nie są niezależne, to nie można skorzystać ze wzoru (1.3.11). Współczynnik korelacji jest określony wzorem

P = p(X, V)

Cov(X. V) V^/D^SXV^/D^V "

(1.3.14)

Współczynnik korelacji ma kilka charakterystycznych, sformułowanych poniżej własności.

a)    |pl ^ 1,

b)    jeżeli X i Y są niezależne, to p(X, Y) = 0,

c)    |p| = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a j= 0 i 6 takie, że

(1.3.15)

P(Y = aX + 5) = 1.

Jeżeli współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y jest równy zeru, to mówimy, że są one nieskorelowane. Jeżeli zmienne losowe są niezależne, to są nieskorelowane, ale nie na odwrót.

Wyrażenie E ^(Y - (aX +    osiąga najmniejszą wartość, gdy współczynniki a i /3 są określone

wzorami

02    ₀ 02

a = p— , P = moi - p—mio,

01 01

gdzie of = D¹X, of = D¹Y, mio = EX oraz moi = EY.

Prostą o równaniu

- m₀i = p— (x - mio) 01

nazywa się prostą regresji, a współczynniki a i fi nazywają się współczynnikami regresji.

1.4. Zadania

1.    Rzucamy trzema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co najmniej dwie reszki?

1

   Jest n + m losów, spośród których n wygrywa. Kupiono k losów. Obliczyć prawdopodobieństwo,

2

że wśród nich jest s (s 5; n) losów wygrywających.