5378219182

WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Przykład 1.2.1. Przy rzucie monetą (przykład 1.1.1) można określić zmienne losowe X i Y w następujący sposób: X(0) = -1, X(9?) = 1 oraz Y(S?) = -1, Y(0) = 1.

Taka para zmiennych losowych jest modelem matematycznym dwuosobowej gry o następujących regułach:

•    gracz A rzuca monetą,

•    gdy wypadnie orzełek, gracz A płaci graczowi B złotówkę,

•    gdy wypadnie reszka, gracz B płaci graczowi A złotówkę.

Zmienna losowa X jest więc zyskiem lub stratą gracza A, a zmienna losowa Y jest więc zyskiem lub stratą gracza B. Między tymi zmiennymi zachodzi czysto deterministyczny związek X = — Y.

Przykład 1.2.2. Zmienną losową może być liczba oczek przy rzucie jedną kostką do gry (przykład 1.1.2): X (w,-) = i. Zmienna losowa może też wskazywać, czy wyrzucono np. „szóstkę", czy też inną liczbę oczek: Y (to6) = 1 oraz Y (toi) = 0 dla i = 1,..., 5.

Zmienne losowe wyznaczają zdarzenia, np. {to: X[to) < x} oznacza „zbiór tych zdarzeń elementarnych, dla których wartość zmiennej losowej X jest mniejsza od liczby x". Zwykle zamiast kompletnego wzoru {to : X[to) < x} stosuje się skrócony zapis {X < x}.

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję o argumentach i wartościach rzeczywistych określoną wzorem

F(x) = P({w : X[to) < x}) = P(X < x)    (1.2.1)

dla każdego x. Oznacza to również, że

P (a ^ X < 6) = F (b) - F (a).    (1.2.2)

Z definicji (1.2.1) wynika, że

a)    0 ^ F(x) ^ 1,

b)    F(-oo) = ^fim_qF(x) = 0, F(oo) = firn F (x) = 1,

c)    F (x) jest funkcją niemalejącą.

Mówimy, że znamy rozkład zmiennej losowej, jeżeli znamy jej dystrybuantę lub inne równoważne (dalej omówione) charakterystyki. Wśród zmiennych losowych wyróżnia się zmienne losowe skokowe (dyskretne) i zmienne losowe typu ciągłego.

Zmienne losowe skokowe przybierają tylko skończoną liczbę wartości albo ich wartości dają się ustawić w ciąg. Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej jest przedziałami stała, a na granicach przedziałów ma skoki. Dla zmiennych losowych skokowych zamiast dystrybuanty wystarczy tylko znać prawdopodobieństwa P(X = x,) = p,-, gdzie x,- są (ustawionymi w ciąg) wartościami, które zmienna losowa X przyjmuje, a p,- są wartościami skoków dystrybuanty w punktach x,-. Prawdopodobieństwa pk mają następujące własności:

a)    pk 0 dla każdego k,

b)    pi + p₂ + • • • = £ p_h = 1

k

Zmienna losowa typu ciągłego ma ciągłą dystrybuantę, którą ponadto można przedstawić w postaci FM- Jud di.    (1.2.3)

Funkcję /(x) ze wzoru (1.2.3) nazywa się gęstością. W tych punktach, w których dystrybuanta ma pochodną, gęstość wyraża się wzorem