027

2. Zmienne losowe

2.1. Rozkłady i parametry zmiennych losowych

Przykłady

Przykład 2.1.1.

Dobrać parametry A, B, C, D tak, aby funkcja

F(x) =

A

Bx²

JC²

2~^{X +} C D

dla xfQ, dla 0 < x =$5 1,

dla 1 < x ^ 2, dla x>2,

była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Rozwiązanie.

•    Z warunku lim F(x) — 0 wynika, że A = 0.

X—*—co

•    Z warunku lim F(x) = 1 wynika, że D = 1.

_X—*oo

•    Z warunku, że F(x) jest lewostronnie ciągła i niemalejąca wynika, że

lim F(x) =F{ 1) ^ lim

—i-1“    *->!+

f-,₊c

oraz

lim F(x) =F(2) l.

x—>2~

Zauważmy, że F(x) jest rosnąca na (0,1) oraz na (l, 2). Wynika stąd, żeO^B^C—1/2 oraz 0 ^ C ^ 1. Ponadto B f 1/2. Dla B = 1/2 i C = 1 dystrybuanta F(x) jest funkcją ciągłą. Na rysunku 4 przedstawiona jest dystrybuanta nieciągła o parametrach B = 0.125 i C = 0.75.