041

41

2.2. Momenty zmiennych losowych

Przykład. Niech Pr(X — k) —0.1 dla k — 0,1,..., 9. Mediana nic jest wyznaczona jednoznacznie - nierówności (2.1.6) spełnia dowolna liczba z przedziału (4,5), czyli Me G (4,5). Kwartyle są zaś wyznaczone jednoznacznie:    = 2,

Ś_3/4 = 7, skąd Q = 2.5. Dla porównania EX = 4.5, v^/D^IX = 2.87228

2.2.4. Zadania

2.2.1.    Niech zmienne losowe X i Y będą niezależne oraz niech EX — 2, D²X --

'■s

1, EF = 1 i D l = 4. Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje zmiennych losowych Z, — X — 2F i Z₂ — 2X — F.

2.2.2.    Niech R będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Obliczyć momenty centralne /c-tego rzędu.

2.2.3.    Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny dany tabelą:

^xk	0	1	2	3	4
Pk	0.2	0.1	0.1	0.3	A

Znaleźć stałą A, a następnie wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennych losowych X i Y = sin(7rX/2).

2.2.4. Rzucamy trzy razy monetą. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów. Obliczyć EX i D²X.

2.2.5. Zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości 2^k dla k= 1,2.... oraz Pr(X = 2^k) = 4-5~^k. Znaleźć EX oraz D²X. Czy istnieje trzeci moment zmiennej XI

2.2.6. Zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości 3^k 1 dla k— 1,2,... oraz Pr(X = 3^k~^l) = 2 ■ 3~^k. Czy istnieje EX? Obliczyć Ev^.

2.2.7.    Rzucamy dwoma kostkami. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję sumy oczek na kostkach.

2.2.8.    Stwierdzić dla jakich a, funkcja

dla x > 1, dla x 1,

( a In a

/(■*) = ] A

0

będzie gęstością zmiennej losowej X. Dla jakich k istnieją momenty EX*7

2.2.9. Niech X_t i X₀ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Niech X — max(X, ,X,). Wyznaczyć dystrybuantę, gęstość i momenty zmiennej losowej X.