037

37

22. Momenty zmiennych losowych

Wartość oczekiwana -przypadki szczególne

Rozkład 0-1

Rozkład

jednostajny

Jeżeli zmienna losowa jest typu ciągłego o gęstości /(a), to wartość oczekiwana zamiast wzorem (2.2.4), wyraża się wzorem

oo

Eg(X)= I g{x)f(x)dx,    (2.2.5)

— oo

a jeśli jest dyskretna, to wzorem

Eg(X) = £>(*>,.,    (2.2.6)

/

gdzie p_i — Pr(X —x_i). Oczywiście w obu tych przypadkach, suma lub całka musi być bezwzględnie zbieżna.

Jeżeli całka (2.2.2) nie istnieje lub jeśli istnieje, ale nie jest bezwzględnie zbieżna, tzn. nie istnieje całka (2.2.3), to mówimy, że wartość oczekiwana nie istnieje. W przypadku, gdy g(x) ^ 0 i nie istnieje wartość oczekiwana, to mówi się też, że wartość oczekiwana zmiennej losowej jest nieskończona.

W pewnych przypadkach można łatwo stwierdzić, że wartość oczekiwana istnieje. Przykładem są tu dwa, łatwe do udowodnienia fakty.

Fakt 2.2.1.

Jeśli zmienna losowa X ma gęstość f, która jest równa zeru poza pewnym ograniczonym zbiorem na prostej rzeczywistej, (tzn. istnieje odcinek (a,b) taki, Że jeśli x jz (a, b), to f(x) = 0) oraz jeśli funkcja g jest ograniczona na tymi zbiorze, to istnieje Eg(X).

Fakt 2.2.2.

Jeśli zmienna losowa dyskretna X przybiera tylko skończoną liczbę wartości x_t, to wartość oczekiwana Eg(X) istnieje.

Poniżej przedstawione zostaną dwa najprostsze, ale bardzo ważne przykłady.

Przykład. Rozkład zero-jedynkowy: Pr(X = 1) = /?, Pr(X = 0) = q = 1 — p, a więc zmienna losowa X nie przyjmuje innych wartości niż 0 i 1.

EX = 0 • q + 1 • p — p.

Przykład. Rozkład jednostajny na odcinku [0,1]:

1

0

dla x G [0,1], dla x [0,1].

Wartość oczekiwana istnieje (patrz fakt 2.2.2) i wyraża się wzorem

i

x dx — - . 2

o