18413 statystyka skrypt40

gdzie ą jest składnikiem losowym o wartości oczekiwanej zero, nazywanym też odchyleniem losowym. Oprócz tego zakłada się, że wszystkie wyniki doświadczeń y₍ są niezależne oraz podlegają rozkładowi normalnemu o pewnej nieznanej wartości oczekiwanej E(Y) i pewnej wariancji o² niezależnej od wartości zmiennej niezależnej x.

W innej klasie zagadnień zainteresowanie skupia się na przewidywaniu wartości jednej zmiennej losowej Y na podstawie obserwacji innej zmiennej losowej X. Przy liniowym modelu zależności warunkowa wartość oczekiwana zmiennej Y pod warunkiem, że X = x jest funkcją liniową x:

E(Y\X=x) = a+px.    (4.3)

Dla pewnej wartości x zmiennej losowej X zmienna losowa Y ma pewien warunkowy rozkład wokół wartości oczekiwanej i pewną warunkową wariancję <x_y². W wiciu analizach statystycznych zakłada się, że ten warunkowy rozkład jest normalny o wariancji zależnej od konkretnej wartości x. Jeśli zmienne X i Y podlegają pewnemu dwuwymiarowemu rozkładowi normalnemu, to:

£(Y| X=x)=/iy +p~{x-fi_x).    (4.4)

Łatwo zauważyć, że:

P'“ P(tfy!er*) oraz a = p_y-pp_x.

gdzie:

p_k i Py - brzegowe wartości oczekiwane zmiennych losowych X i Y,

o_x i Oy - brzegowe odchylenia standardowe zmiennych losowych X i Y.

p - współczynnik korelacji między zmiennymi losowymi X i Y.

Zauważmy: jeśli przyjmiemy, że dla każdego x, zmienne Y, są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym, o wartościach oczekiwanych a + fi x, i stałej wariancji o², to wówczas można także założyć, że odchylenia losowe ćy mają identyczny rozkład normalny N(0,o).

Z tego, że X i Y są zmiennymi losowymi, wynika, iż można rozpatrywać alternatywny problem prognozy E(X| Y—y) ^m a + 0 y. Czy jest to celowe, zależy od tego, w jaki sposób zależność będzie wykorzystywana w praktyce. Czy będzie się prognozować wartość zmiennej X, mając dane wartości Y = y, czy też odwrotnie, trzeba będzie prognozować wartość zmiennej Y na podstawie X ^r: x. Zależność zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y jest określona wzorem:

(4.5)

^ay

Równanie to nie przedstawia tej samej prostej na wykresie co zależność określająca E(Y|X=x). Współczynnik nachylenia do osi x-ów, w tym przypadku, jest równy (l/p)*(a_y/o*), a poprzednio był p⁴(a_y / <j*).

Różnica w obu typach modeli zależności polega na interpretacji x: czy przedstawia ona sobą z góry określoną wartość deterministyczną, czy też reprezentuje wartość obserwowaną zmiennej losowej X. W każdym przypadku podstawowym założeniem modelu jest fakt, że dla 42