40063 statystyka skrypt57

gdzie:

b ■ [6,,b......A., ]^r - wektor estymatorów współczynników p,

*. ^myi “*7(*i.b) - reszta.

lub w zapisie macierzowym

S(b) = e^Te - (y - n)^T(y - *),

(5.3)

gdzie:

»l = l7(*i.b>. 7(>2-b). -.»7(z.. b)f.

Aby otrzymać estymator metody najmniejszych kwadratów, należy zróżniczkować

równanie (5.2) względem b:

dS(b) _Q

Uzyskuje się układ m nieliniowych równań względem współczynników:

-2]Ś>,    - 1,2.....m,    (5.4) 

Zauważmy, że jeżeli funkcja i/(x,,P) jest liniowa względem współczynników, to jej pochodna jest funkcją jedynie x. i nie zawiera żadnych |i (jest niezależna od p).

Oszacowanie przedziału ufności dla współczynników p opiera się zwykle na iineary-zacji modelu (5.1) w pobliżu wartości oszacowań b. Równanie (5.1) po linearyzacji wokół wartości estymatora b wektora współczynników p przyjmie następującą postać:

(5.5)

Przyjmując, te odchylenia losowe mają rozkład normalny estymator b wektora współczynników p ma graniczny rozkład normalny o wartości oczekiwanej E(b) * p oraz o macierzy kowariancji:

C = (Z^rZ)-'<r^J,

(5.6)

Wówczas elipsoida ufności wektora współczynników P może być w przybliżeniu określona wzorem analogicznym do liniowej regresji:

66