55591 statystyka skrypt58

(5.7)

(P - b)^r Z^rZ0 - b) <m s² f,

gdzie:

s* = S(b)(n - m) ¹ - estymator wariancji o².

Jeżeli lineary/acja zależności nie daje dobrego przybliżenia zależności rzeczywistej, wtedy powyższa elipsoida nie będzie prawdziwym obszarem ufności. Dokładny obszar ufności można określić przez wyznaczenie położenia stałych wartości S(b) ■ const. lecz wtedy nie można dokładnie określić wartości prawdopodobieństwa, ponieważ nic jest znany dokładny rozkład wektora estymatorów b. Najczęściej przyjmuje się, że linearyzacja stanowi dość dobre przybliżenie modelu nieliniowego i wtedy analizę statystyczną wyestymowanej zależności wykonuje się, wykorzystując sposoby analizy regresji liniowej. Wtedy test statystyczny do weryfikacji hipotezy o nieistotności współczynników p (H©: J3_p-0, p"l, 2,.... m)

może być oparty na statystyce t_p = ^L_g, która przy założeniu, że hipoteza zerowa jest

prawdziwa, ma graniczny rozkład i Studenta o (n-m) stopniach swobody. Miarą stopnia dopasowania zależności regresyjnej do danych doświadczalnych będzie współczynnik determinacji R², zdefiniowany i interpretowany podobnie jak dla regresji liniowej.

5.3. Estymacja współczynników modeli nieliniowych

Układ równań (5.4) najczęściej nie ma rozwiązania analitycznego. Dlatego też rozwiązania poszukuje się za pomocą metod iteracyjnych. Wybierając wektor b© jako wektor startowy, dąży się do tego, aby otrzymać ciąg ocen (b©,    b₍% b/./,...) spełniający dla każdego

/ warunek:

S(b_/+I) < S(b,).    (5.8)

Polega to na korygowaniu kolejnych przybliżeń ocen współczynników o pewien wektor:

spełniający warunek:

v,*Ad_łt

S(b,+X d/) < S(b/X

(5-9)

(5.10)

gdzie X jest liczbą określającą długość kroku, a d, jest wektorem określającym kierunek poszukiwań. Poszukuje się zatem takiego kierunku wyznaczonego przez wektor dr, aby funkcja 5(b, X6,) była funkcją malejącą względem X. Pochodna funkcji kryterium:

c[S(b. -^.d,)j r dS ypfb,-r^d.)j dx "LabrJ [ &x I

musi być wobec tego mniejsza od zera:

Oznaczając gradient funkcji —— = g,, warunek (5.11) przyjmie posiać:

oh.

&^rdr<0.    (5.12)

67