60600

Estymator wariancji czyli statystyka a intuicja, albo jak wnioskować Ed*jrd R-ewcdj AGH OoT 02X>2

Estymator średniej

Kąt poziomy .X pomierzono w n seriach, uzyskując wyniki .X|,...,.X„.

Jak obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość kąta ?

Obliczyć średnią arytmetyczną.

W jaki sposób ?

_v _ 1 »

Zsumować wynki z poszczególnych serii i podzieić przez n (liczbę serii), czyli .x=—x £ ,x .

n 1=1

Logiczne ? Logiczne.

Sprawdźmy, jak nasza logka ma się do statystyki.

Obliczmy es ty rra tor średnią arytmetycznej na podstawie definicji estymatora nieobciążonego: Estymatorem wartości średniej X jest funkqa

».x

X = B(x)=e(- * Z -O =-^-    I -O = -4*(.x, ) + ... + *(*„))=-(*!+.+ x„ )=- x£ X

) n ) n    n    ii

Czyi ma się dobrze.

Estymator wariancji

Jak obliczyć wariancję ? (proszę me pytać co to jest ale zastanowić się :)

Może intuicyjnie, czyli poprzez analogię do estymatora wartości średniej Czyli ⁷

Wariancję oblicza się na podstawie rozrzutu względem wartości średniej (czyli na podstawie odchyłek, różnic porraędzy i-tą wartością a średnią), przy czym sumowanie jest w kwadratach. To znaczy, intuicja (przynajmniej moja) mówi, że trzeba polczyć sumę kwadratów odchyłek i podzieić przez n (liczbę serii).

| a    ,

Czyli intuicyjnie: S‘ =—    (.X, — .¥)*

n m

No to sprawdźmy jak to jest w statystyce, czyli obliczmy estymator wariancji.

Wiemy, ze estymator jest zmienną losową Jeżeli policzymy wartość Ś * dla widu różnych prób, to otrzymamy różne wartości.

Zgodnie z definicją estymator jest meobaążony, gdy wartość oczekiwana estymatora jest równa wartość es rymowanego parametru o ‘

b(s² )= izrf i (*, - *Y) = -sf i (x, - .i+i - .?)=)=!£ 4.t, - i)^! >((.« -if) n V/-i    ) ⁿ \t=1    J ⁿi= i

Riniewaz

4t,-i)²)=rW=o^J

Każda zmrenna x_f podlega temu samemu rozkładowi. Jest to rozkład zmiennej losowej .x . Czyli wariancja każdej ze zmrennych \_t jest równa wariancji zmiennej losowej .x :

\ = V{x_l+... ₊ x_H) = V(x,)+... + V{x_m) = V{x)+... + V{x) = nxV(x)=iixo²

)    n

Stąd r(.x)=4_rx«xoⁱ = -0² i tak dochodzimy do wyniku

-.i)²)-^((.x -i}*)=/i o ² -/^ o² j =    ²

n    ii

który może nas zaskoczyć.

Jak widać, wartość oczekiwana naszego estymatora S ² nie jest równa wartości estymowanej O ² .

Okazuje się, ze nasz intuicyjny estymator jest obciążony.

Udowodniliśmy, ze intuicja nas zawiodła !?

?

Zastanówmy się, jaką postać ma meobcążony estymator wariancji ?

Z wyrażenia na £LS² I możemy wywnioskować, że wystarczy nasz estymator S* podzielić przez (w-l) zamiast przez ll, i jesteśmy w domu.

Czy zatem intuicja w statystyce zawodzi ? Może pozornie, ale nie do końca. Zauważmy, że w przypadku dużej próby obciążenie naszego intuicyjnego estymatora będzie niewielke. Ale przede wszystkm, dzięki intuicji ustaliliśmy postać estymatora nieobciążonego O