statystyka skrypt62

4.3. Regresja jednej zmiennej niezależnej 4.3.1. Opis metody

Powszechnie stosowaną metodą estymacji współczynników a i (3 w modelu regresji liniowej jest metoda najmniejszych kwadratów. Niech (xi, yi), (x₂, y₂), .... (x„, y„) będzie ciągiem wyników obserwacji. Zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oszacowania a i b współczynników a i P minimalizują sumę kwadratów odchyleń obserwacji od prostej regresji, określoną w następujący sposób:

s=S[Pi-<*+**i>F-    <⁴*n)

i=i

'Estymatory a i b współczynników regresji a i p otrzymane metodą najmniejszych kwadratów są określone wzorami:

a = y-bti    (4.12)

h=—.-—(4-13)

gdzie:

J = ¹E-v, ,    ? = -&,    (4-M)

są odpowiednio średnimi arytmetycznymi wyników obserwacji Xj i y>.

Sprawdzenie, czy zależność między zmienną zależną Y a zmienną niezależną x jest istotna statystycznie, polega na weryfikacji hipotezy Ho: p = 0 o nieistotności zależności wobec hipotezy alternatywnej Hi: P * 0 w oparciu o statystykę:

t = b/Sb,    (4.15)

gdzie Sb jest odchyleniem standardowym estymatora b współczynnika p opisanym wzorem:

*» = . ^£l—>    (4-16)

2>,-*)²

i=i

gdzie s² jest oszacowaniem wariancji o² zmiennej losowej Y.

Zwykle, jako tego oszacowania używa się sumy kwadratów odchyleń obserwowanych wartości yi od wartości estymowanych y, podzielonych przez liczbę stopni swobody:

J^!=—-y,)’-    (4.17)

n - 2 ,.i

Statystyka t, przy założeniu prawdziwości hipotezy Ho, ma rozkład t-Studenta o f ■ n - 2 stopniach swobody. Hipotezę Ho odrzuca się, jeśli wartość ftj przekracza wartość krytyczną to/zr przy zadanym poziomie istotności ol

44