039

39

2.2. Momenty zmiennych losowych

Przykład. Dla zmiennej losowej zero-jedynkowej mamy

m_k = EX^k = O^kq+l^kp = p.

Przykład. Dla zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na [0,1

i

m, — EX^k — [ x^Jidx— —^— .

^k    J k+1

o

Wariancja Następnie definiuje się moment centralny rzędu k, (k-ty moment centralny),

wzorem c_k — E(X — EX)*. Przypadek k — 2 pełni szczególną rolę w rachunku prawdopodobieństwa. Moment centralny drugiego rzędu nazywa się wariancją i jest oznaczany symbolem D²X albo VarX. W dalszym ciągu będziemy używać tylko pierwszego z tych oznaczeń.

D²X = E(X - EX)² =E (X - m)².    (2.2.10)

Wariancja jest Z definicji wariancji wynika w szczególności, że D²X > 0. Z wariancją zwią-nieujemna! zana jest ważna charakterystyka, zwana średnim odchyleniem standardowym

lub dyspersją, oznaczona symbolem a i określana jako pierwiastek z warian-cji: a = a_x = V^/D⁵X.

Dla wariancji nie ma, bez dodatkowych założeń, odpowiednika twierdzenia 2.2.2. Można jednak sformułować twierdzenie następujące.

Twierdzenie 2.2.5.

Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o skończonych wariancjach. Wtedy

D²(aX) = a²D²X,    (2.2.11)

Ponadto, jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

D²(X + y) =D²X + D²y.    (2.2.12)

Wariancja zmiennej losowej X, a zwłaszcza jej dyspersja, jest miarą odchylenia zmiennej losowej od jej średniej wartości, czyli miarą rozrzutu. Interpretacja taka wynika bezpośrednio ze wzoru (2.2.10).

Wariancję można obliczyć korzystając z następującej własności, która jest wygodniejsza w obliczeniach niż wzór (2.2.10).

Fakt 2.2.3.

Jeżeli istnieje D²X, to

(2.2.13)

D²X = EX² - (EX)²

albo równoważnie