028

28

2. Zmienne losowe

Przykład 2.1.2.

Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x) z przykładu 2.1.1. Dla A = O, B = 0.125, C = 0.75 i D = 1 obliczyć:

a)    Pr(l ^X < 1.5),

b)    Pr(l <X < 1.5),

c)    Pr(0.5 < X < 2),

d)    Pr(0.5 < X ^ 2),

e)    Pr(0.25 < X < 1.25),

f)    Pr(l <X^2).

Rozwiązanie.

W obliczeniach tych prawdopodobieństw wykorzystamy następujące fakty: Pr (a ^ X <

b) = F{b) — F(a) oraz własności nieciągłości F(x) w punktach x = 1 i x == 2. Wiadomo, że

Pr(X = 1) = lim F(x)-F{\) =0.25-0.125 = 0.125

X—*1⁴

oraz

Pr(X = 2) = lim F(x) - F(2) = 1 - 0.75 = 0.25.

x—>2^f

Wtedy

a)    Pr(l ^X < 1.5) = .F(] .5) — F(l) = 0.375 — 0.125 = 0.25,

b)    Pr(l <X< 1.5) = F(1.5)-F(l)-Pr(X = 1) = 0.375-0.125 - 0.125 = 0.125,

c)    Pr(0.5 < X < 2) = F{2) - F(0.5) = 0.75 - 0.03125 = 0.71875,

d)    Pr(0.5 <X ^2) = F(2)-F(l)+Pr(X = 2) =0.75-0.125 + 0.25 = 0.875,