045

45

2.3. Zmienne losowe typu ciągłego

Zadanie 2.3.11.

Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem

f(x) =

2c\x\

c+l

dla Ul ^ dla Ul >

gdzie c > 0. Dla jakich wartości c istnieje moment rzędu

n+1?

1,

1,

n, a nie istnieje moment rzędu

Zadanie 2.3.12.

Niech zmienna losowa X ma gęstość

f/_x)₌l²~2x dla (0,1),

^J[X \0 dlaxi (0,1).

Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y - e^x.

Zadanie 2.3.13.

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1]. Pokazać, że zmienne losowe Y = —j\nX i Z = — x ln( \ —X) dla A > 0 mają rozkład wykładniczy z parametrem

X.

Zadanie 2.3.14.

Załóżmy, że napięcie U prądu zmiennego ma losową fazę <p o rozkładzie jednostajnym na przedziale [—n/2, zr/2], tzn. U = U_maxsin<p. Znaleźć dystrybuantę i gęstość napięcia U.

Zadanie 2.3.15.

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [—1,1]. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = arcsinA\ Obliczyć EZ.

Zadanie 2.3.16.

Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [—1,2]. Znaleźć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y = X².

Zadanie 2.3.17.

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [—1,3]. Podać dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y = |X|.

Zadanie 2.3.18.

Gęstość rozkładu zmiennej losowej X jest dana wzorem

/ W =

dla 0 < x < 1, dla pozostałych x.

Dla zmiennej losowej Y = e ^x znaleźć