103

103

7.1. Rozkłady dwuwymiarowe

Zadanie 7.1.4.

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość

(cx(x - y) gdy 0 < x < 2, -x < y < x,

f(^x’^y) = j_n

[0    poza tym.

a)    Obliczyć stałą c.

b)    Znaleźć rozkłady zmiennych X i Y i sprawdzić czy są niezależne.

c)    Obliczyć Pr((X,Z) € A), gdzie A = {(x,y) : 0 < x < 2, 0 < y < x}.

Zadanie 7.1.5.

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,P) dana jest wzorem

.    ,    ( e ^{x y} dla x > 0,y > 0,

W)= _n

[0 poza tym.

Obliczyć Pr(l < X < 2,1 < Y < 2). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 2X — 3Y.

Zadanie 7.1.6.

Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) dana jest wzorem

.    [6exp(—2x —3y) dla x > 0, y > 0,

ffay) = 1 _n

[0    poza tym.

a)    Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

b)    Wyznaczyć Pr(X < x\Y < y).

c)    Obliczyć Pr(l < X <2,-1 < Y < 1).

Zadanie 7.1.7.

Niech

„ _x fAe-^+W dla jc > 0 i y > 0,

f(x,y) = i _n

[0    poza tym.

Czy istnieje stała A taka, że / jest gęstością wektora losowego (X,Y)7 Jeśli tak, to znaleźć rozkłady brzegowe i warunkowe.

Zadanie 7.1.8.

Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) wyraża się wzorem

f(^x,y)

2 K

exp

x²+y²

2

a)    Obliczyć Pr(X >1),

b)    Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna (X,Y) przyjmie wartość z wnętrza okręgu x² +y² = 1.