5378219171

Wykład 2

Rozkłady zmiennych losowych

2.1. Rozkłady dyskretne

Rozkład dwupunkłowy

Zmienna losowa X ma rozkład dwupunkłowy, gdy z prawdopodobieństwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. jeśli P(X = xi) = p i P(X = X2) = q, to p + q = 1. Łatwo policzyć, że EX = xip + xią, co w przypadku p = q = 1/2 daje m = (xi + X2)/2, czyli średnią arytmetyczną, natomiast wariancja

d²x - te -x,)W

Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero-jedynkowy, gdy xi = 0 i X2 = 1. Wtedy EX = p oraz D²X = pq.

Rozkład dwumianowy

Dokonujemy n niezależnych doświadczeń, a w każdym z nich możemy otrzymać tylko dwa wyniki - sukces lub porażkę. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest takie samo i jest równe p, więc prawdopodobieństwo porażki jest równe q = i - p.

Prawdopodobieństwo, że w ustalonych k doświadczeniach spośród wszystkich n wykonanych, jest równe p^k. Prawdopodobieństwo, że w pozostałych n - k doświadczeniach odniesiemy porażkę, jest

równe (1 - p)ⁿ~^k. W n doświadczeniach można k miejsc na sukces wybrać na sposobów. Stąd oznaczając przez X liczbę sukcesów w n doświadczeniach, otrzymujemy

Jest to rozkład dwumianowy. Łatwo policzyć, że gdy q = 1 - p, to

oraz wszystkie p* > 0.

Jeżeli X,-, i = 1,2,...,n są niezależnymi zmiennymi losowymi o takich samych rozkładach zerojedynkowych, to zmienna losowa X = Xi +X2 + —l-X2 ma rozkład dwumianowy. Ponieważ EX* = p i D²X = pq, to rozkład dwumianowy ma wartość oczekiwaną EX = np i wariancję D²X = npq.

16