034

34

2. Zmienne losowe

2.2. Zmienne losowe dyskretne

Przykłady

Przykład 2.2.1.

Zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x) następującej postaci:

X	(-00,-1]	(-1,1]	(1,2]	(2,5]	(5,10]	(10,oo)
F(x)	0	0.1	0.3	0.6	0.9	p

a)    Wyznaczyć parametr p.

b)    Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

c)    Obliczyć EX i D^lX.

Rozwiązanie.

a)    Ponieważ lim F(x) = 1, więc p= 1.

X—*oo '    '

b)    Dystrybuanta F(x) jest przedziałami stała i ma skoki w punktachx=— l,x= l,x = 2, x = 5 i x = 10, więc X jest zmienną losową dyskretną. Wielkość skoku dystrybuanty w punkcie x_{ wyraża się wzorem

F(xt)-F(x_i)=Pr(X=x_i).

Zatem rozkład zmiennej losowej X jest postaci

Pr(X = —l)= 0.1—0 = 0.1,

Pr(X = 1) =0.3 —0.1 =0.2,

Pr(X = 2) = 0.6 — 0.3 = 0.3,

Pr(X = 5) =0.9 —0.6 = 0.3,

Pr(X= 10) = 1-0.9 = 0.1.

c) Dla dyskretnej zmiennej losowej X otrzymujemy

5    5

EX = ^x₍Pr(X= .*,.) = 3.2 oraz EX² = ]Tjc?Pr(X =x₍) = 19,

i=i    ;=i

skąd D²X = EX² - (EX)² = 8.76.

Przykład 2.2.2.

Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa podany w tabeli.

^xi	-2	-1	0	2	3
Pr(X=*,)	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2

a)    Obliczyć EX i D²X.

b)    Obliczyć Ey i D²Y, gdy Y =X² — l, bez wyznaczania rozkładu zmiennej losowej Y.