038

38

Operator

liniowy

Wartość

oczekiwana

iloczynu

Moment

zwykły

2. Zmienne losowe

Dla wartości oczekiwanych zmiennych losowych prawdziwe są własności takie same jak dla całek, które można słownie sformułować następująco:

•    wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych jest równa sumie ich wartości oczekiwanych (o ile wartości oczekiwane istnieją),

•    stałą można wyciągnąć przed znak wartości oczekiwanej.

Formalnie sformułujemy to w postaci twierdzenia.

Twierdzenie 2.2.2.

Jeżeli istnieją EX i EY, to dla dowolnych a i b

E(aX + bY) = aEX + bEY,    (2.2.7)

czyli wartość oczekiwana jest operatorem liniowym.

Podobnie jak dla całek, nie ma ogólnej reguły obliczania wartości oczekiwanej iloczynu zmiennych losowych. Reguła taka istnieje tylko dla niezależnych zmiennych losowych.

Twierdzenie 2.2.3.

Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

E(XY) = (EX){EY).    (2.2.8)

2.2.3. Momenty wyższych rzędów

Momentem rzędu k, (£=1,2,...) zmiennej losowej X czyli momentem k-ttgo rzędu lub krótko, k-tym momentem zmiennej losowej X jest wartość oczekiwana jej £-tej potęgi X^k, czyli EX^k. Moment rzędu k jest często oznaczany symbolem m_k. Moment ten nazywany jest momentem zwykłym, dla odróżnienia od innego rodzaju momentów omawianych dalej. Wartość oczekiwana zmiennej losowej X jest momentem rzędu pierwszego i oznaczana jest bardzo często symbolem m —    = EX.

Z twierdzenia 2.2.1 otrzymujemy, że

oo

m_k = EX^k= I/dF{x),    (2.2.9)

— OO

o ile całka ta jest bezwzględnie zbieżna.

Z istnienia momentów wyższych rzędów wynika istnienie momentów niższych rzędów.

Twierdzenie 2.2.4.

Jeżeli istnieje EX^k oraz l <k, to istnieje EX^l.