1105139914

11

Są to historyczne wartości, które służą, jak już wiemy, do estymowania parametrów zmiennych losowych stóp zwrotu Ra i Rb- Historyczna tygodniowa oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji w akcje spółki A, na podstawie wybranego przez nas okresu dwóch miesięcy, wynosi Ra = 0.25, zaś dla spółki B jest to wielkość i?e = —0.05. Natomiast dla estymatorów ryzyk zmiennych stóp zwrotu Ra i Rb dostajemy, odpowiednio: a a = \/0.06 « 0.2449, <?b = \/0.14 « 0.3741.

Jakie wnioski nasuwają się po obejrzeniu tych wyników? Co prawda poznaliśmy tylko estymatory nieznanych dokładnie wielkości E(J?a)> E(/?b)i &(Ra), &(Rb), jednak tak jest zawsze w analizie portfelowej - nigdy nie znamy dokładnych rozkładów zmiennych stóp zwrotu, porównaj już pierwszą i podstawową pracę Markowitza [19]! Wnioskujemy i oceniamy tylko na podstawie estymatorów Ra, Rb, &a, <?b-

Oczywiście od razu nasuwa się nam wybór akcji spółki A, jako zdecydowanie lepszej! Wykazuje ona dużą historyczną stopę zwrotu (25%), podczas gdy akcje spółki B „zachowywały się” fatalnie — przynosiły niemal ciągle straty, dając ostatecznie stopę zwrotu —5%! Co więcej, spółka A może pochwalić się wahaniami (24.49%) zdecydowanie mniejszymi, niż wahania i tak kiepskiej spółki B (37.41%). Nie ma więc żadnej wątpliwości, jaką decyzję należy podjąć i nonsensem wydaje się branie pod uwagę ,słabej” spółki!

Czy rzeczywiście jednak B nic nam nie może zaoferować? Przekonajmy się, że nie jest to wcale takie oczywiste.

Wyobraźmy sobie, że postanowiliśmy w naszej inwestycji uwzględnić również spółkę B. Oczywiście nie chcemy zrezygnować ze świetnej spółki A, zatem postanawiamy nabyć akcje obydwu tych spółek. Inwestorzy nazywają taką sytuację zakupem portfela akcji. Nasz portfel będzie tylko dwuelementowy. Spróbujmy opisać go w ścisły sposób. Wystarczy do tego płaszczyzna kartezjańska R². Nasz portfel to punkt x = (xi, 22 )^T, gdzie x\ oraz 22 będą częściami naszego kapitału, zainwestowanymi w akcje spółki A oraz B odpowiednio. Widzimy, że xi + X2 = 1. Ponadto sensowne portfele muszą mieć współrzędne nieujemne (najmniejszą ilością akcji, które możemy kupić, jest zero). Zauważmy, że wszystkie portfele o tych własnościach tworzą na płaszczyźnie odcinek, będący fragmentem prostej o równaniu X2 = 1 — xi zawartym między punktami (0, 1)^T i (1, 0)^T. Tak więc jeżeli rozważamy zakup akcji dwu spółek, to możemy wybierać spośród nieskończenie wielu portfeli z tego odcinka — nazywa się go zbiorem portfeli dopuszczalnych. Np jeżeli mamy do dyspozycji 1000 zł i postanowiliśmy nabyć akcje spółki A za 850 zł oraz akcje spółki B za 150zł, nasz portfel ma postać (0.85, 0.15)^T. Ściślej rzecz ujmując, jeżeli posiadamy w chwili początkowej kwotę L_pocz i akcje spółki A zakupimy za x\ ■ L_pocz, zaś akcje spółki B za 12 • L_pocz, to kapitał końcowy (losowy nieznany w chwili początkowej!) wynosić będzie Lkon = L_pocz-x\ • (1 + Ra) + Lpocz• £2• (1 + -Rb), gdzie Ra oraz Rb to oczywiście zmienne losowe - stopy zwrotu z akcji spółek A i B.

Przez stopę zwrotu z portfela (x\, X2y (wielkość losową!) rozumiemy stosunek (losowego) zysku inwestora posiadającego dany portfel akcji do kwoty (znanej, nielosowej) zainwestowanej w ten portfel na początku; jest to więc zmienna losowa

Tkor

Tpocz _ L_pocz ■ x\ • (1 + Rą) + -Łp_OCZ ¹ ^2 • (1 Rb) Tp,

,ocz    L\>ocz

- = xi ■ Ra +X2 • Rb ■

Zatem wartość oczekiwana stopy zwrotu z portfela x = (zi, 22), oznaczana teraz i w dalszych wykładach E{x), wynosi

E(x) = x\ ■ E(7?a) + X2 ■ E(7?b) •

Natomiast wariancję stopy zwrotu z portfela x, oznaczaną teraz i w dalszych wykładach cr²(x), liczymy trochę spokojniej

^!(z) = <r²(zi • Ra + X2 ■ Rb) = <x²{Ra)xi +2cov(Ra, Rb)xi • £2 + ct²(Rb)x2 .