146
4.11. Zmienne losowe X i Z są niezależne, przy czym E(X) = 8, D2(X) = 2 oraz E(Z)= 12, D\Z) = 8. Czemu równa się ZT(X + Z), £(A:Z), Dz(X-Z), D(X + Z)?
146
4.12. E(X) = 80, D2(X) = 16. Oblicz
oraz D\
X
4.13. Zakładając, że dzienna liczba transakcji zawartych przez przedstawiciela pewnej firmy ma następujący rozkład:
Liczba transakcji X=x, |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P(X=x,) |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,15 |
0,05 |
a) Sporządź wykres funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuanty.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zawarcia co najmniej dwóch transakcji w ciągu jednego dnia.
c) Oblicz oczekiwaną liczbę transakcji zawartych w ciągu dnia.
4.14. Z urny zawierającej 20% kul koloru białego wylosowano niezależnie 10 kul. Zmienną losową X jest liczba wylosowanych kul białych.
a) Określ funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul nie będzie kuli w kolorze białym.
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul będzie co najwyżej pięć kul w kolorze białym.
d) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul będą co najmniej dwie kule w kolorze białym.
e) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul będą wszystkie kule w kolorze białym.
f) Oblicz P{3 < X < 6).
g) Oblicz F(3).
h) Oblicz E(X), D\X).
4 15 Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy o E(X) = 4,8 oraz D\X) = = 2,88. Oblicz: P(X = 0), P(X > 0), P(X < 4).
4.16. Wadliwość produkcji wynosi 0,5%. Pobrano losowo, w sposób niezależny 500 wyrobów.
a) Czemu równa się prawdopodobieństwo, że w pobranej partii wyrobów nie będzie wyrobu wadliwego?
147
b) Czemu równa się prawdopodobieństwo, że w pobranej partii wyrobów będzie 10 wyrobów wadliwych?
c) Czemu równa się prawdopodobieństwo, że w pobranej partii wyrobów będzie co najwyżej 5 wyrobów wadliwych?
d) Czemu równa się prawdopodobieństwo, że w pobranej partii wyrobów będą co najmniej 3 wyroby wadliwe?
e) Oblicz F(2).
f) Oblicz P(5 < X < 8).
g) Czemu równa się E(X) oraz D2(X)?
4.17. Do kontroli jakości pobrano losowo z taśmy 120 opakowań zawierających po 10 sztuk wyrobów. Po przeprowadzeniu badania jakości otrzymano następujący rozkład opakowań pod względem liczby wadliwych wyrobów:
Liczba wadliwych wyrobów |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Liczba opakowań |
38 |
41 |
26 |
10 |
4 |
1 |
Zakłada się, że liczba wadliwych wyrobów w opakowaniu jest zmienną losową X o rozkładzie Poissona.
a) Czemu równa się wartość oczekiwana tej zmiennej?
b) Określ teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X, zgodnie z rozkładem Poissona.
c) Jak kształtowałby się rozkład opakowań według liczby wadliwych wyrobów, zgodnie z rozkładem Poissona?
4.18. Ze statystyk policyjnych wynika, że na pewnym odcinku drogi zdarzają się w czasie weekendu często wypadki samochodowe. Obliczono, że średnio w roku przypada na weekend 1,3 wypadku. Przyjmując, że rozkład liczby wypadków na tym odcinku drogi w czasie weekendu jest zgodny z rozkładem Poissona, oblicz prawdopodobieństwo tego, że w czasie weekendu:
a) nie zdarzy się wypadek samochodowy;
b) zdarzy się co najmniej 1 wypadek samochodowy;
c) zdarzą się 4 wypadki samochodowe;
d) zdarzą się co najwyżej 3 wypadki samochodowe;
e) określ teoretyczny rozkład liczby wypadków na tym odcinku drogi w ciągu 100 weekendów.
4.19. Zachorowanie na pewną chorobę jest losowe i zapada na nią w ciągu roku jedna osoba na 10 tys. Czemu równa się prawdopodobieństwo, że w 5-ty-sięcznym mieście zachoruje w ciągu roku na tę chorobę: