Obraz9 3

Podobnie dla zmiennej losowej Y mamy:

P(Y = y_k\X    =?.*.).= Ii!.; k = l,2,.... m (4.43)

P(X=x_t) Pi

m

£p(ł' = >-_t|x=x,)=i.

*=i

I )la powyższych rozkładów warunkowych można określić wartości oczeki-v.me zmiennej losowej X oraz zmiennej losowej Y:

£(X|r = y_t) = j*>|— oraz    = x,) = Ey_t — ■    (4.44)

1=1 P.k    *=1 Pi.

Wartość oczekiwana zmiennej X w jej rozkładzie warunkowym jest zależna -I wartości, jaką przyjmuje zmienna losowa Y, zatem można zapisać wartość oczekiwaną jako funkcję: m_l0(y_k) = E(X\Y = y_k). Podobnie wartość oczekiwali. i dla zmiennej losowej Y w jej rozkładzie warunkowym: m_0] (jc,. ) = E(Y\X = x-_t).

I>iór punktów o współrzędnych (mi(y_k),y_k) nazywamy regresją pierwszego rodź;! j u zmiennej X względem zmiennej Y, natomiast zbiór punktów o współrzędnych (x_hm₂(xi)) - regresją pierwszego rodzaju zmiennej Y względem zmien-

IIC| X.

Przykład 4.11.

Rzucamy jednocześnie monetę oraz kostkę do gry. Określmy zmienne loso-

we X i Y:

0,

1,

0,

1,

2,

X =

gdy zajdzie zdarzenie A = {7?} gdy zajdzie zdarzenie B = {0}

Y = <

gdy zajdzie zdarzenie C = {e_l, e₂) gdy zajdzie zdarzenie D = {e₃, e_A} gdy zajdzie zdarzenie E - {e₅, e₆}.

Zbiór E zdarzeń elementarnych ma postać: E = {R, 0, e_u e₂,    e₆}. Zmienna

losowa (X,Y) przyjmuje wartości: (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), .i wartości jej funkcji prawdopodobieństwa obliczymy z relacji:

p_n = P(X = x_u Y = y_l) = P(X = 0, r = 0) = P(AnC),

p_l2=P(X = x_u Y = y₂) = P(X = 0, F = 1) = F(AnD),

Pn- P(X = x_hY = y₃) = P(X = 0, Y = 2) = P(AnE),

P21 = P(X = *2, Y = yj = P(X = 1, Y = 0) = P(SnC), P22 = P(X = jc₂, Y = y₂) = P(X = 1, 7 = 1) = P(BnD), Piz = P(X = *₂, Y = y₃) = P{X = 1, Y = 2) = P(5n£).

Obliczone wartości funkcji prawdopodobieństwa naszej zmiennej losowej zawiera poniższa tabela:

	0	1	2	Pi
0	1	1	1	3
	6	6	6	6
1	1	1	1	3
	6	6	6	6
	2	2	2
Pm	—	—	—	1
	6	6	6

Brzegowe funkcje prawdopodobieństwa zmiennych losowych X i Y można przedstawić w następujący sposób:

- brzegowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X\

•*/	0	1
	3	3
Pi.	6	6

- brzegowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y:

yk	0	1	2
Pm	2	2	2
	6	6	6

Sprawdź, czy zmienne X i Y są niezależne.

Zmienne X i Y są niezależne, jeżeli dla każdej pary wartości y*) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) spełniony jest warunek:

P_ik =P(X=x_itY = y_k) = P(X= Xj)P(Y = y_k) = _Pi p_k

Sprawdźmy kolejno:

_Pu =p(x=o,r = o) = ż = p_lft=i

6 6 6 6