6 (2032)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Ostatecznie więc rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej opisanej w zadaniu można zapisać:

p dla k =

/*1

A-l

.11-1

dla \<k<n-\ dla k-n

6/ Robotnik obsługuje 2 maszyny pracujące niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny 1 maszyna nie będzie wymagać interwencji wynosi 0,4, a II maszyna 0,8. Niech zmienna losowa X oznacza liczbą maszyn, które pracując przez godziną nie wymagają interwencji robotnika. Wyznaczyć funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Rozwiązanie:

Niech D, oznacza, że i -ta maszyna pracuje dobrze w ciągu godziny, oraz Z, oznacza, że i-ta maszyna wymaga interwencji w ciągu godziny.

Można otrzymać następujące przypadki:

1/ Di nD₂- zdarzenie, że obydwie maszyny pracując przez godzinę nie wymagają interwencji;

2/ DjnZ₂ lub Zj nD₂- zdarzenie, że jedna z maszyn pracując przez godzinę nie wymaga interwencji;

3/ Zj n Z₂ - obydwie maszyny pracując przez godzinę wymagają interwencji. Oznaczmy:

p, - prawdopodobieństwo, że i-ta maszyna nie będzie wymagać interwencji;

q,    - prawdopodobieństwo, że i-ta maszyna będzie wymagać interwencji.

P(D! nD₂) = P(D, ) P(D₂) = 0,4 • 0,8 = 0,32;

P(D,nZ₂) + P(Z,nD₂) = 0,4 • 0,2 + 0,8 • 0,6 =0,56;

P(Z, nZ₂) = P(Z,>P(Z₂) = 0,6 • 0,2 = 0,12.

Rozkład zmiennej losowej X zapiszemy zatem w tabeli 6:

Xi	0	1
Pi	032	0,56	0.12	-M M* II

Tabela 6.

7/ Zmienna losowa Xprzyjmuje wartości:

i	1	Jm	3	4	5
Xi	>	1	0	i	2

Tabela 7.

Wiadomo także, że: a/ E(X) = E(X³) = 0; E(X²) = 2; E(X*) = 6; Znaleźć rozkład zmiennej losowej X

Rozwiązanie:

Wykorzystamy definicję momentu k-tego rzędu zmiennej losowej X:

(1.4)    *    ^ _k

'    ’    E(X^k)^m_i^Y_J^X Pi

i-l

Stąd otrzymujemy układ czterech równań:

EX = (-2)pi + (-1 )p2 +0p₃ +1 p₄ +2p₅ = 0;

E(X³) = -8p, -1 p₂ +p₄ +8p₅ = 0;

E(X²) = 4pi +p₂ +p₄ +4p₅ = 2;

E(X⁴)= 16p, +P2+P4 +16p₅ = 6.

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy prawdopodobieństwa dla kolejnych punktów skokowych zmiennej losowej X:

Pi = 1/6; p₂ = 1/3; p₃ = 0; p₄ = 1/3; p_s = 1/6;

Rozkład zmiennej losowej X zapisano w tabeli 8:

Tabela 8.

3

Xi

b/ Dla tej samej zmiennej losowej X wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa jeżeli: E(X) = EQĆ) = 0; E(X²) = a; E(X^>) = b.

Rozwiązanie:

Podobnie jak w poprzednim przykładzie układamy układ równań: -2p,-p2+p4 + 2p₅ =0;

-8p,-p2+p4+8p₅ =0;

4p, + p₂+ p₄ + 4p₅ = a;

I6pi+p₂+p4 + 16p₅=b.

Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy wartości prawdopodobieństw dla kolejnych punktów skokowych zmiennej X:

b ~ a    4a - b    (b - a Aa - b\ . 5a - b

A =    — r^l—r^;'

przy czym: 5a- b <4, b - a <24, 4a - b <6.

8/ Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

Xi	-3	-1	0.1	“V	4	5
Pi	0 05	0.15	03	k	03	0,1

Tabela 9.

a/ Wyznaczyć stałą k:

b/ Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres;