Strona 1 (14)

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

ROZKŁAD BERNOULLI'EGO

Rozkład dwumianowy, dotyczący zmiennej losowej dyskretnej, jest oparty na doświadczeniach typu Bernoulli'ego, których schemat jest następujący:

wykonuje się serię n niezależnych doświadczeń w takich samych warunkach; w wyniku pojedynczego doświadczenia może zrealizować się pewne zdarzenie A z

prawdopodobieństwem P( A ) = p lub zdarzenie przeciwne A z prawdopodobieństwem P( A )

= i -p ⁼ q•

Prawdopodobieństwo, że wśród przeprowadzonych n doświadczeń zrealizuje się k razy zdarzenie A jest określone wzorem:

n-k

(n\

P(X = k) = |^_kJp (i - P)

Dystrybuanta rozkładu dwumianowego przyjmuje postać:

F(x) = X (uIp'0-P)"'¹

0<k<x

Podstawowe parametry rozkładu:

E(X) = np;

D²(X) = np(l-p);

1 - 2p

VⁿP(¹“P) ’

Wartość oczekiwana Wariancja

Współczynnik asymetrii

Współczynnik spłaszczenia y, =- .

np(l - p)

Kończąc charakterystykę rozkładu dwumianowego podkreślmy, że jego zastosowania praktyczne odnoszą się do obserwacji statystycznych prowadzonych na zmiennych dyskretnych dla małych liczebnie prób losowych (zwłaszcza w tzw. statystycznej kontroli jakości produkcji).

ZADANIE 1

Wiadomo, że 1% skrzynek winogron psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy wybrano 3 skrzynki. Niech X oznacza liczbę skrzynek z zepsutymi winogronami spośród trzech wybranych. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Podać wartości prawdopodobieństw dla X=0, 1, 2 i 3. Obliczyć podstawowe parametry statystyczne tego rozkładu.