img007u1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

ROZKŁAD BERNOULLl’EGO

Rozkład dwumianowy, dotyczący zmiennej losowej dyskretnej, jest oparty na doświadczeniach typu Bemou!li'ego, których schemat jest następujący:

wykonuje się serię n niezależnych doświadczeń w takich samych warunkach; w wyniku pojedynczego doświadczenia może zrealizować się pewne zdarzenie A z

prawdopodobieństwem P( A ) = p lub zdarzenie przeciwne Az prawdopodobieństwem P(A)

= i - p = q

Prawdopodobieństwo, że wśród przeprowadzonych n doświadczeń zrealizuje się k razy zdarzenie A jest określone wzorem:

'M    -

P(X = k) = Qp^k(l-_Pr^k.

Dystrybuanta rozkładu dwumianowego przyjmuje postać:

Podstawowe parametry rozkładu:

p^t(ł-p)"-^k

Wartość oczekiwana Wariancja

Współczynnik asymetrii

F(X) = X

OSk<x

E(X) = np ;

D²(X) = np(l-p);

I - 2p

^7| VⁿP(l-P> ’

Współczynnik spłaszczenia y, =---— .

np(l-p)

Kończąc charakterystykę rozkładu dwumianowego podkreślmy, że jego zastosowania praktyczne odnoszą się do obserwacji statystycznych prowadzonych na zmiennych dyskretnych dla małych liczebnie prób losowych (zwłaszcza w tzw statystycznej kontroli jakości produkcji).

ZADANIE 1    ótÓ fi.    k\ 0.,.Vi

Wiadomo, że 1% skrzynek winogron psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy wybrano 3 skrzynki. Niech X oznacza liczbę skrzynek z zepsutymi winogronami spośród trzech wybranych. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Podać wartości prawdopodobieństw dla X=0, 1, 2 i 3. Obliczyć podstawowe parametry statystyczne tego rozkładu.

Wytwórnię wyposażono w 20 identycznych maszyn. Na podstawie doświadczeń stwierdzono, że prawdopodobieństwo wystąpienia awarii maszyny tego typu w ciągu jednego dnia wynosi około p = 0.05. Należy obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że

Urządzenie składa się z pięciu niezależnie pracujących elementów, Prawdopodobieństwo awarii dla każdego elementu jest równe 0.1. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństw liczby nie działających elementów.

ZADANIE 4

W rodzinie jest troje dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że

1.    W rodzinie jest nie mniej niż jeden chłopiec;

2.    W rodzinie jest nie więcej niż dwóch chłopców;

3.    W rodzinie są dwie dziewczynki.

Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki jest równe prawdopodobieństwu urodzenia chłopca i wynosi : p = q = 0.5.