77114 statystyka matematyczna cw3a

STATYS

TEMATYCZNA

ROZKŁAD BERNOULLI'EGO

Rozkład dwumianowy, dotyczący zmiennej losowej dyskretnej, jest oparty na doświadczeniach typu Bemoulli'ego, których schemat jest następujący:

wykonuje się serię n niezależnych doświadczeń w takich samych warunkach; w wyniku pojedynczego doświadczenia może zrealizować się pewne zdarzenie A z

prawdopodobieństwem P( A) = p lub zdarzenie przeciwne A z prawdopodobieństwem P( A) = 1 -p = q.

Prawdopodobieństwo, że wśród przeprowadzonych n doświadczeń zrealizuje się k razy zdarzenie A jest określone wzorem:

P(X=k) = [^p^k(l-p)”-^k.

Dystrybuanta rozkładu dwumianowego przyjmuje postać:

F(x)= £

Osko;

p^k(i-p)“-^k.

Podstawowe parametry rozkładu:

E(X) = np ;

D^!(X) = np(l-p);

1 — 2p

^Yl Vⁿpu-p) ’

Wartość oczekiwana Wariancja

Współczynnik asymetrii

Współczynnik spłaszczenia y, =-—-— .

np(l p)

Kończąc charakterystykę rozkładu dwumianowego podkreślmy, że jego zastosowania praktyczne odnoszą się do obserwacji statystycznych prowadzonych na zmiennych dyskretnych dla małych liczebnie prób losowych (zwłaszcza w tzw. statystycznej kontroli jakości produkcji).

ZADANIE 1

Wiadomo, Zc 1% skrzynek winogron psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy wybrano 3 skrzynki. Niech X oznacza liczbę skrzynek z zepsutymi winogronami spośród trzech wybranych. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Podać wartości prawdopodobieństw dla X=0, 1, 2 i 3. Obliczyć podstawowe parametry statystyczne tego rozkładu.

ZADANIE 2

Wytwórnię wyposażono w 20 identycznych maszyn. Na podstawie doświadczeń stwierdzono, że prawdopodobieństwo wystąpienia awarii maszyny tego typu w ciągu jednego dnia wynosi około p = 0.05. Należy obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że

1.    Cztery maszyny ulegną awarii w ciągu jednego dnia;

2.    Przynajmniej cztery maszyny ulegną awarii.

Obliczyć podstawowe parametry statystyczne tego rozkładu.

ZADANIE 3

Urządzenie składa się z pięciu niezależnie pracujących elementów. Prawdopodobieństwo awarii dla każdego elementu jest równe 0.1. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństw liczby nie działających elementów.

ZADANIE 4

W rodzinie jest troje dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:

1.    W rodzinie jest nie mniej niż jeden chłopiec;

2.    W rodzinie jest nie więcej niż dwóch chłopców;

3.    W rodzinie są dwie dziewczynki.

Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki jest równe prawdopodobieństwu urodzenia chłopca i wynosi: p = q = 0.5.