55156 statystyka matematyczna cw3b

ROZKŁAD POISSON'A

Drugim ważnym rozkładem teoretycznym zmiennych losowych dyskretnych jest rozkład Poisson'a, zwany też rozkładem zdarzeń rzadkich bądź prawem małych liczb. Znajduje zastosowanie wszędzie tam, gdzie obserwuje się dużą liczbę zdarzeń, a prawdopodobieństwo sukcesu jest małe. Występuje on jako przybliżenie rozkładu dwumianowego przy spełnieniu dwóch warunków: a) liczba doświadczeń powinna być wystarczająco duża (praktycznie n > 100);

b) stale prawdopodobieństwo powinno być bliskie zeru (praktycznie p < 0.1).

Zastosowania praktyczne rozkładu Poisson'a są rozliczne i np. rozkład ten może być użyty by charakteryzować takie zjawiska, jak liczbę braków w produkowanych urządzeniach, liczbę awarii, liczbę nieszczęśliwych wypadków w pewnym przedziale czasowym itp.

Rozkład Poisson'a jest określony wzorem:

P(X = k) = ^-c-\

Podstawowe parametry rozkładu:

Wartość oczekiwana    E(X) = X ;

Wariancja    D^J(X) =X;

"Jx

Współczynnik asymetrii    y, = ——;

A

Współczynnik spłaszczenia y₂=—.

A,

ZADANIE 5

Fabryka produkuje żarówki. Prawdopodobieństwo wyprodukowania żarówki wadliwej wynosi 0.002. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyprodukowanej partii 1000 żarówek znajdzie się:

1)    nie więcej niż 5 żarówek wadliwych;

2)    5 żarówek wadliwych.

Oblicz podstawowe parametry statystyczne rozkładu.

ZADANIE 6

Podręcznik wydano w nakładzie 100000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik zostanie źle oprawiony, jest równe p = 0.0001.

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawi się 5 źle oprawionych książek.

ZADANIE 7

Centrala telefoniczna zakładu obsługuje 100 abonentów. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jednej minuty abonent zadzwoni do centrali, jest p = 0.01. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, żc w ciągu jednej minuty zadzwoni:

a)    dokładnie trzech abonentów;

b)    mniej niż trzech abonentów;

c)    więcej niż trzech abonentów;

d)    co najmniej jeden abonent.

ZADANIE 8

Tkaczka obsługuje 1000 wrzecion. Prawdopodobieństwo zerwania się nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty, jest równe 0.003.

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w czasie jednej minuty zerwą się:

a)    dwie nici;

b)    mniej niż dwie nici;

c)    więcej niż dwie nici;

d)    co najmniej jedna nić.