5378219176

20

WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Jeśli n jest duże, to —jest bliskie jedynki, a więc s² i S² różnią się nieznacznie. Ważne są następujące własności:

EX = EX,

EŚ² = D²X.

Oznacza to, że przeciętna wartość średniej empirycznej z próby jest równa średniej teoretycznej (patrz str. 11) cechy w populacji generalnej, a przeciętna wartość wariancji empirycznej „z daszkiem" z próby jest równa wariancji teoretycznej cechy w populacji generalnej. Wynika stąd, że statystyki określone wzorami (2.3.1) - (2.3.7) mogą służyć do oszacowania odpowiednich parametrów teoretycznych.

Ogólnie: statystyki służące do szacowania nieznanych parametrów rozkładu cechy w populacji generalnej na podstawie próby, nazywa się estymatorami. O estymatorach będzie mowa w wykładzie 3. Dla porównania estymatorów z prawdziwymi wartościami parametrów służą statystyki:

Jt X-EX r U =-vn , a	(2.3.8)
X - EX /-	(2.3.9)
2 nS^2	(2.3.10)

Wzoru (2.3.8) używamy, gdy znane jest O, a wzoru (2.3.9), gdy a jest nieznane.

Dalej potrzebne będzie jeszcze pojęcie rozkładu chi-kwadrat Pearsona. Zmienna losowa o tym rozkładzie tradycyjnie oznaczana jest symbolem x²- Zmienna losowa x² ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody, gdy jest sumą kwadratów niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N(0,1), tzn.

X² = X? + X| + • • • + X²,

gdzie X,- są niezależne i mają rozkłady normalne N(0,1). Wtedy Ex² = n oraz D²^² = 2n. Tablice rozkładu chi-kwadrat ułożone są tak, że dla danych n i a, 0 < a < 1 podawane są wartości liczb Xa takie, że

p (x² >>&) - a.

Wartości te są podawane dla n ^ 30. Dla większych n rozkład chi-kwadrat jest zbliżony do rozkładu normalnego N (n, V2n^j.

Przy pomocy rozkładu chi-kwadrat i rozkładu normalnego N(0,1) definiuje się rozkład t-Studenta. Zmienna losowa o tym rozkładzie tradycyjnie oznaczana jest symbolem t lub T. Zmienna losowa t ma rozkład Studenta o n stopniach swobody, gdy wyraża się wzorem

V5?/n '

gdzie X ma rozkład N(0,1), a x² ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody oraz X i x² są niezależne.

Tablice rozkładu Studenta ułożone są tak, że dla danych n i a, 0 < a < 1 podawane są wartości liczb t_a takie, że