5378219174

19

WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

2.3. Populacja, próba i statystyki

Cecha w populacji generalnej jest zmienną losową - oznaczmy ją X. Część populacji, powiedzmy że n-elementowa i dostępna bezpośredniej obserwacji, nazywana jest próbą losową. Element próby o numerze i jest też zmienną losową - oznaczmy ją X,-. Zakładać będziemy dalej zawsze, że zmienne losowe X₍ są niezależne o takiej samej dystrybuancie (o takim samym rozkładzie), co cecha X. Próbę taką będziemy nazywać próbą prostą.

Statystyka T_n = T„ (Xi,X2,... ,X„) jest funkcją zmiennych losowych (Xi,X2,... ,X„). Poniżej podanych jest kilka najważniejszych statystyk.

1.    Średnia empiryczna:

(2.3.1)

2.    Wariancja empiryczna:

i=l i=1	(2.3.2)
3. Odchylenie standardowe empiryczne:
s =	(2.3.3)
Zauważmy, że powyżej podane statystyki są zmiennymi losowymi (oznaczamy je dużymi literami), natomiast ich zaobserwowane wartości oznaczamy małymi literami.
Niech _ Xi + • • • + x„ x =-. n	(2.3.4)
»^24l>-^?)2	(2.3.5)
lub dla danych pogrupowanych wzorem
‘■ = hE(*-*)V	(2.3.6)

gdzie x,- jest środkiem i-tego przedziału klasowego. Zaobserwowaną wartością statystyki (2.3.1) jest więc liczba określona wzorem (2.3.4), a wartością (2.3.2) jest liczba określona wzorem (2.3.5). Wartość oczekiwana EX określona wzorem (1.3.2) lub (1.3.3) jest teoretycznym odpowiednikiem średniej empirycznej x określonej wzorem (2.3.4), natomiast wariancja D²X określona wzorem (1.3.6) jest teoretycznym odpowiednikiem wariancji empirycznej s² określonej wzorem (2.3.5). Wariancję empiryczną określa się też nieco innym wzorem (S² „z daszkiem”):

(2.3.7)