029

29

2.1. Rozkłady zmiennych losowych

Uwaga. W niektórych podręcznikach dystrybuantę definiuje się wzorem

F(x) = Pr ({co : X(fi>) s$ x}) = Pr(X < x) .

Przy takiej definicji dystrybuanty, własność (c) w twierdzeniu 2.1.2 przybiera postać:

(c) F(x) jest prawostronnie ciągła.

Jest to jedyna różnica.

Przykład. Dobrać stałe A, B, C, Z), E i F tak, aby funkcja

A

Bx² H-C

Dx^JrE

F

F(x) = <

dla jc < — 1, dla -1 ^ x ^ 0, dla 0 < x ^ 1, dla x > 1

była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Trzeba więc stałe dobrać tak, aby były spełnione warunki (a) - (c) w twierdzeniu 2.1.2. Najpierw sprawdzimy warunek (b). Wynika z niego, że musi być A = 0 oraz F = 1. Na to, aby dla x — —1 był spełniony warunek (c), F(x) musi być lewostronnie ciągła w tym punkcie, a więc musi być również ciągła, (bo inaczej byłaby tylko prawostronnie ciągła) co oznacza, że B + C — 0. Dla spełnienia warunku (a) na odcinku [0,1] trzeba przyjąć, że B ^ 0, a więc również C ^ 0. Dalej, w punktachx — 0 i x = 1 funkcja F(x) jest zawsze lewostronnie ciągła, wystarczy więc sprawdzić warunek (a). Oznacza to, że C ^ E < 1, D ^ 0 oraz D ^ 1 — E. Tak więc tylko dwa parametry są wyznaczone jednoznacznie, (A — 0 i F — 1), a pozostałe są określone przy pomocy układu nierówności i równości. Na rysunku 3 pokazany jest wykres takiej dystrybuanty dla B — -0.25, C = -B = 0.25, D = 0.25, E = 0.5.

Prawdopodobieństwa określone przy pomocy dystrybuanty

Przy pomocy dystrybuanty można określić prawdopodobieństwa zdarzeń, o których była mowa punkcie 2.1.1.

i

Pr(X s$ jc) = lim F(t) = F(x⁺),

Pr(x₁ < X <x₂) — F(x₂) — F(x₁)_ł Pr(X=x) = F(x⁺)-F(x),

Pr(X > jc) = 1 — F(x⁺)

i tak dalej