29
2.1. Rozkłady zmiennych losowych
Uwaga. W niektórych podręcznikach dystrybuantę definiuje się wzorem
F(x) = Pr ({co : X(fi>) s$ x}) = Pr(X < x) .
Przy takiej definicji dystrybuanty, własność (c) w twierdzeniu 2.1.2 przybiera postać:
(c) F(x) jest prawostronnie ciągła.
Jest to jedyna różnica.
Przykład. Dobrać stałe A, B, C, Z), E i F tak, aby funkcja
A
Bx2 H-C
DxJrE
F
F(x) = <
dla jc < — 1, dla -1 ^ x ^ 0, dla 0 < x ^ 1, dla x > 1
była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Trzeba więc stałe dobrać tak, aby były spełnione warunki (a) - (c) w twierdzeniu 2.1.2. Najpierw sprawdzimy warunek (b). Wynika z niego, że musi być A = 0 oraz F = 1. Na to, aby dla x — —1 był spełniony warunek (c), F(x) musi być lewostronnie ciągła w tym punkcie, a więc musi być również ciągła, (bo inaczej byłaby tylko prawostronnie ciągła) co oznacza, że B + C — 0. Dla spełnienia warunku (a) na odcinku [0,1] trzeba przyjąć, że B ^ 0, a więc również C ^ 0. Dalej, w punktachx — 0 i x = 1 funkcja F(x) jest zawsze lewostronnie ciągła, wystarczy więc sprawdzić warunek (a). Oznacza to, że C ^ E < 1, D ^ 0 oraz D ^ 1 — E. Tak więc tylko dwa parametry są wyznaczone jednoznacznie, (A — 0 i F — 1), a pozostałe są określone przy pomocy układu nierówności i równości. Na rysunku 3 pokazany jest wykres takiej dystrybuanty dla B — -0.25, C = -B = 0.25, D = 0.25, E = 0.5.
Prawdopodobieństwa określone przy pomocy dystrybuanty
Przy pomocy dystrybuanty można określić prawdopodobieństwa zdarzeń, o których była mowa punkcie 2.1.1.
i
Pr(X s$ jc) = lim F(t) = F(x+),
Pr(x1 < X <x2) — F(x2) — F(x1)ł Pr(X=x) = F(x+)-F(x),
Pr(X > jc) = 1 — F(x+)
i tak dalej