5378219173

18

WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Rysunek 2.1: Gęstość rozkładu normalnego.

Gęstość rozkładu normalnego N(0,1) przedstawiona jest na rys. 2.1. Dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (0,1) jest oznaczana przez 4> (x) = P (X < x), a jej wartości są podane w tablicach rozkładu normalnego. Do korzystania z nich przydatna jest znajomość następujących zależności:

a)    P (X > x) = 1 -    (x),

b)    4>(x) = 1 -4>(-x),

c)    P (|X| > x) = 2 (1 - 4> (x)).

Aby zaś obliczyć P(X < x), gdy X ~ N(m,(T), należy skorzystać z zależności

P(X < x) = P

Spotykane często tablice rozkładu normalnego podają zamiast wartości dystrybuanty 4>(x) (takie tablice są na str. 52), wartości funkcji 4>(x) - 0.5, czyli wartości P (0 < X < x) (takie tablice są w [7, 8, 9]).

Rozkład normalny dwuwymiarowy ma postać

((x - mi)²

27T<Ti 02 V 1 -

2(1 -p²) '

(2.2.3)

,(x - m_t)(y - m₂)² (y - m₂)²'

(Tl 02

Parametr p występujący we wzorze (2.2.3) jest współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y, natomiast parametry mi, m2, Oi i O są odpowiednio wartościami oczekiwanymi i odchyleniami standardowymi zmiennych losowych X i Y. Z porównania wzorów (2.2.3) i (2.2.2) widać, że gęstość dwuwymiarowego rozkładu normalnego jest iloczynem gęstości normalnych jednowymiarowych wtedy i tylko wtedy, gdy p = 0.

Wynika stąd, że jeśli zmienne losowe X i Y mają dwuwymiarowy rozkład normalny, to są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Jest to szczególna cecha rozkładu normalnego (por. uwagę na str. 13).