033

33

2J. Rozkłady zmiennych losowych

punktów. Dzieje się tak, gdyż zarówno we wzorze (2.1.3) definiującym gęstość jak i w warunku (B) w twierdzeniu 2.1.3, wartości całek nie zmieniają się przy zmianie wartości funkcji podcałkowej w skończonej liczbie punktów. Przyjmuje się jednak zawsze, że spełniony jest warunek (A) w tym twierdzeniu.

Wzór na gęstość

Bezpośrednim wnioskiem ze wzoru (2.1.3) jest następujący fakt.

Fakt 2.1.1.

Jeżeli istnieje gęstość f dla dystrybuanty F, to w punktach róiniczkowalności F wyraża się ona wzorem

f(x) =

dF(x)

dx

(2.1.7)

Przykład. Dobrać stałe a i b > 0 tak, aby funkcja

/M

acosx dla x £ [0,/?],

0

była gęstością pewnej zmiennej losowej. Trzeba więc dobrać stałe tak, aby był spełniony warunek (A) w twierdzeniu 2.1.3, skąd wynikają nierówności a ^ 0 oraz 0 ^ b ^ n/2. Aby był spełniony warunek (B) w tym twierdzeniu, musi zachodzić równość

b

jacosxdx=l.

0

Stąd po obliczeniu całki otrzymujemy warunek aslnb = 1, a więc ostatecznie a ^ 1 oraz b — arcsin(l/a).

Za pomocą gęstości można łatwo wyznaczyć prawdopodobieństwo należenia wartości zmiennej losowej do pewnego zbioru.

Twierdzenie 2.1.4.

Jeżeli zmienna losowa X ma gęstość f, to

Pr(X e[a,b}) = Pr{X €[a,b))

(2.1.8)

h

= Pr(X £ {a,b]) = Pr(X £ {a_}b)) = / f(x)dx.

a